Feladat:	B.4336	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ágoston Péter ,  Baráti László ,  Bogár Blanka ,  Bősze Zsuzsanna ,  Czipó Bence ,  Dolgos Tamás ,  Fonyó Viktória ,  Herczeg József ,  Homonnay Bálint ,  Kenéz Balázs ,  Klincsik Gergely ,  Lenger Dániel ,  Mihálykó András ,  Molnár Ákos ,  Sagmeister Ádám ,  Scharle Csilla ,  Schulz Vera Magdolna ,  Schwarz Gergő ,  Strenner Péter ,  Szabó Attila ,  Varjú János ,  Viharos Andor ,  Weisz Gellért ,  Weisz Ambrus
Füzet:	2011/december, 534. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai bizonyítások, Háromszögek egybevágósága, Pont körüli forgatás, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/február: B.4336

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Legyen a parallelogramma $CD$ oldalára kifelé szerkesztett szabályos háromszög harmadik csúcsa $G$. Feltehető, hogy a parallelogramma pozitív körüljárású. Ha az $FCG$ háromszöget $F$ körül $+{60}^{\circ }$-os szöggel elforgatjuk, akkor $C$ képe $B$ lesz, a $CD$ szakasz képe ezért olyan $B$-n átmenő szakasz, mely $CD$-vel, és így a vele párhuzamos $AB$-vel is ${60}^{\circ }$-os szöget zár be, azaz $CD$ képe $BE$, tehát $D$ képe $E$. Ez azt jelenti, hogy az $FDE$ háromszög szabályos. Most forgassuk el $D$ körül a $DEC$ háromszöget ugyancsak $+{60}^{\circ }$-os szöggel. Az előzőek miatt $E$ képe $F$ lesz, $G$ definíciójából pedig az következik, hogy $C$ képe $G$. A $DEC$ és $DFG$ háromszögek egybevágóak, ezért $CED\sphericalangle =DFG\sphericalangle$. Végül ha az $ADG$ háromszöget $G$ körül $+{60}^{\circ }$-os szöggel elforgatjuk, akkor $D$ képe $C$ lesz, a $DA$ szakasz képe ezért olyan $C$-n átmenő szakasz, amely $DA$-val, és így a vele párhuzamos $CB$-vel is ${60}^{\circ }$-os szöget zár be, azaz $DA$ képe $CF$, tehát $A$ képe $F$. Ezért a $GAF$ háromszög is szabályos. Ezek alapján, felhasználva, hogy az $A$ és $G$ pontok a $DF$ egyenesnek különböző oldalain helyezkednek el kapjuk, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle AFD\sphericalangle +CED\sphericalangle =AFD\sphericalangle +DFG\sphericalangle =AFG\sphericalangle ={60}^{\circ }\mathrm{,}}\end{array}$ ami éppen a bizonyítandó állítás.