Feladat: B.4336 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Ágoston Péter ,  Baráti László ,  Bogár Blanka ,  Bősze Zsuzsanna ,  Czipó Bence ,  Dolgos Tamás ,  Fonyó Viktória ,  Herczeg József ,  Homonnay Bálint ,  Kenéz Balázs ,  Klincsik Gergely ,  Lenger Dániel ,  Mihálykó András ,  Molnár Ákos ,  Sagmeister Ádám ,  Scharle Csilla ,  Schulz Vera Magdolna ,  Schwarz Gergő ,  Strenner Péter ,  Szabó Attila ,  Varjú János ,  Viharos Andor ,  Weisz Gellért ,  Weisz Ambrus 
Füzet: 2011/december, 534. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkgeometriai bizonyítások, Háromszögek egybevágósága, Pont körüli forgatás, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2011/február: B.4336

Az ABCD parallelogramma AB és BC oldalára kifelé szabályos háromszöget szerkesztünk, ezek harmadik csúcsa E, illetve F. Mutassuk meg, hogy a CED és AFD szögek összege 60.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Legyen a parallelogramma CD oldalára kifelé szerkesztett szabályos háromszög harmadik csúcsa G. Feltehető, hogy a parallelogramma pozitív körüljárású.
Ha az FCG háromszöget F körül +60-os szöggel elforgatjuk, akkor C képe B lesz, a CD szakasz képe ezért olyan B-n átmenő szakasz, mely CD-vel, és így a vele párhuzamos AB-vel is 60-os szöget zár be, azaz CD képe BE, tehát D képe E. Ez azt jelenti, hogy az FDE háromszög szabályos. Most forgassuk el D körül a DEC háromszöget ugyancsak +60-os szöggel. Az előzőek miatt E képe F lesz, G definíciójából pedig az következik, hogy C képe G. A DEC és DFG háromszögek egybevágóak, ezért CED=DFG. Végül ha az ADG háromszöget G körül +60-os szöggel elforgatjuk, akkor D képe C lesz, a DA szakasz képe ezért olyan C-n átmenő szakasz, amely DA-val, és így a vele párhuzamos CB-vel is 60-os szöget zár be, azaz DA képe CF, tehát A képe F. Ezért a GAF háromszög is szabályos.
Ezek alapján, felhasználva, hogy az A és G pontok a DF egyenesnek különböző oldalain helyezkednek el kapjuk, hogy
AFD+CED=AFD+DFG=AFG=60,
ami éppen a bizonyítandó állítás.