Feladat:	B.4462	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bognár Máté
Füzet:	2013/november, 476 - 477. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Kombinatorika, Esetvizsgálat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/szeptember: B.4462

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Kiválasztjuk az egyik dobozt. Ha ebben $k$ darab van az egyik fajta sajtból, aminek $n$-féle elrendezése lehet, akkor ugyanennyi eset van a másik dobozban, ezért az esetek száma $n^2$. A másik fajta sajtból is lehet $k$ darab a kiválasztott dobozban, ezért az esetek számát meg kell szorozni kettővel. Így az összes eset száma: $2\cdot n^2$. Ezzel a módszerrel csak a $k=\mathrm{1,2,3,4}$ eseteket kell vizsgálni, mert a $k$ esetbe beleszámoltuk a $8-k$ esetet is (ezért van a 2-es szorzó). A $k=4$-nél nem kell a 2-es szorzó, mert ekkor a $8-k$ ugyanaz az eset. $k=0$ eset: $2\cdot 1^2=2$. $k=1$ eset: $2\cdot 1^2=2$. $k=2$ eset: $2\cdot 4^2=32$. (A két azonos fajtájú sajt között lehet: $\mathrm{0,1,2,3}$ másik fajta sajt, ha 4  van közte, akkor már a másik oldalról 2 van, és így egymásba forgatható eseteket kapunk.) $k=3$ eset: $2\cdot {\left(1+4+2\right)}^2=98$. (1 lehetőség az, amikor a három azonos fajtájú sajt egymás mellett van. Ha kettő egymás mellett van, de a harmadik nem, az 4 eset, mivel $\mathrm{1,2,3}$ vagy 4 sajt lehet köztük. Ha egyik sincs a másik mellett, akkor 2 eset van, hiszen a köztük lévő sajtok száma $\mathrm{1,1,3}$ vagy $\mathrm{1,2,2}$ lehet.) $k=4$ eset: ${\left(1+3+2+3+1\right)}^2=100$. (Itt nem kell a 2-es szorzó. Ha a négy azonos fajtájú sajt egymás mellett van, akkor 1 eset van. Ha három van egymás mellett, de a negyedik nem, akkor 3 eset van, mert 1, 2 vagy 3 másik lehet köztük. Ha kettő-kettő van egymás mellett, akkor 2 eset van, mert 1 vagy 2 másik lehet köztük. Ha kettő egymás mellett van, de a másik kettő külön, akkor 3 eset van, mert $\mathrm{1,1,2}$, vagy $\mathrm{1,2,1}$ vagy $\mathrm{2,1,1}$ másik fajtájú lehet köztük. Ha mind a négy sajt különálló, akkor 1 eset van, hiszen felváltva követik egymást a különböző fajtájúak.) Így megszámoltuk az összes esetet: $2+2+32+98+100=234$ van összesen.