Feladat: B.4462 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bognár Máté 
Füzet: 2013/november, 476 - 477. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Kombinatorika, Esetvizsgálat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2012/szeptember: B.4462

Egy doboz paprikásszalámis és egy doboz medvehagymás, nyolccikkelyes Maci-sajtot kiborítunk az asztalra, majd a 16 kis sajtot (címkéjükkel felfelé) visszatesszük a dobozokba. Hányféleképpen tehetjük ezt meg, ha a forgatással egymásba vihető elrendezéseket nem tekintjük különbözőnek, a két dobozt viszont megkülönböztetjük egymástól?
 

 


A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. Kiválasztjuk az egyik dobozt. Ha ebben k darab van az egyik fajta sajtból, aminek n-féle elrendezése lehet, akkor ugyanennyi eset van a másik dobozban, ezért az esetek száma n2. A másik fajta sajtból is lehet k darab a kiválasztott dobozban, ezért az esetek számát meg kell szorozni kettővel. Így az összes eset száma: 2n2. Ezzel a módszerrel csak a k=1,2,3,4 eseteket kell vizsgálni, mert a k esetbe beleszámoltuk a 8-k esetet is (ezért van a 2-es szorzó). A k=4-nél nem kell a 2-es szorzó, mert ekkor a 8-k ugyanaz az eset.
k=0 eset: 212=2.
k=1 eset: 212=2.
k=2 eset: 242=32. (A két azonos fajtájú sajt között lehet: 0,1,2,3 másik fajta sajt, ha 4  van közte, akkor már a másik oldalról 2 van, és így egymásba forgatható eseteket kapunk.)
k=3 eset: 2(1+4+2)2=98. (1 lehetőség az, amikor a három azonos fajtájú sajt egymás mellett van. Ha kettő egymás mellett van, de a harmadik nem, az 4 eset, mivel 1,2,3 vagy 4 sajt lehet köztük. Ha egyik sincs a másik mellett, akkor 2 eset van, hiszen a köztük lévő sajtok száma 1,1,3 vagy 1,2,2 lehet.)
k=4 eset: (1+3+2+3+1)2=100. (Itt nem kell a 2-es szorzó. Ha a négy azonos fajtájú sajt egymás mellett van, akkor 1 eset van. Ha három van egymás mellett, de a negyedik nem, akkor 3 eset van, mert 1, 2 vagy 3 másik lehet köztük. Ha kettő-kettő van egymás mellett, akkor 2 eset van, mert 1 vagy 2 másik lehet köztük. Ha kettő egymás mellett van, de a másik kettő külön, akkor 3 eset van, mert 1,1,2, vagy 1,2,1 vagy 2,1,1 másik fajtájú lehet köztük. Ha mind a négy sajt különálló, akkor 1 eset van, hiszen felváltva követik egymást a különböző fajtájúak.)
Így megszámoltuk az összes esetet: 2+2+32+98+100=234 van összesen.