Feladat:	B.4486	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Hansel Soma
Füzet:	2013/szeptember, 345 - 347. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Egészrész, törtrész függvények, Feladat, Egyenletek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/november: B.4486

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   I. megoldás. 1. Az egyenlet mindkét oldalát zárt alakra hozzuk az (Hermite-féle) $\begin{array}{c}{\displaystyle \sum _{i=0}^{k-1}\left[x+\frac{i}{k}\right]=\left[kx\right]}\end{array}$ azonosság felhasználásával, ahol $k$ pozitív egész, $x$ pedig tetszőleges valós szám. Ezt például a következőképpen láthatjuk be. Mivel minden $m$ egészre és $y$ valós számra $\left[y+m\right]=\left[y\right]+m$, az azonosságot elég arra az esetre bizonyítani, amikor   $0\le x<1$. Ekkor az összeg minden tagjára $0\le [x+\frac{i}{k}]<2$, így a bal   oldal értéke azoknak az $i$ indexeknek a száma, amelyekre ($0\le i\le k-1$ és) $[x+\frac{i}{k}]=1$, azaz $x+\frac{i}{k}\ge 1$. Az utóbbi egyenlőtlenség átrendezve: $kx\ge k-i$. Ez annyi $i$-re teljesül, amennyi szám az $\mathrm{1,2,}\text{...}\mathrm{,}k$ számok közül nem nagyobb $kx$-nél, az pedig éppen $\left[kx\right]$. 2. Térjünk rá a feladatbeli egyenletre: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle {\sum }_{k_1=0}^{a-1}\left[\frac{n+k_{1}b}{ab}\right]}& {\displaystyle ={\sum }_{k_2=0}^{b-1}\left[\frac{n+k_{2}a}{ab}\right]\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle {\sum }_{k_1=0}^{a-1}\left[\frac{n}{ab}+\frac{k_1}{a}\right]}& {\displaystyle ={\sum }_{k_2=0}^{b-1}\left[\frac{n}{ab}+\frac{k_2}{b}\right]\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Az Hermite-azonosság felhasználásával: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left[\frac{n}{ab}a\right]=\left[\frac{n}{ab}b\right]\mathrm{,}\text{azaz}\left[\frac{n}{b}\right]=\left[\frac{n}{a}\right]\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel $a$ és $b$ szerepe egyenértékű, feltehető, hogy $a\le b$. Ha $a=b$, akkor triviális módon végtelen sok (minden) $n$-re teljesül az egyenlet. A továbbiakban legyen $a<b$. Mivel $n=0$ nyilván megoldás, az egyenlet pozitív egész megoldásait számoljuk meg. Ilyen biztosan nem létezik, ha $a=1$, ezért feltesszük, hogy $a\ge 2$. Az $n>0$ pontosan akkor megoldás, ha van olyan $t$ (nemnegatív) egész szám, amelyre $\begin{array}{c}{\displaystyle t\le \frac{n}{b}<\frac{n}{a}<t+\mathrm{1,}\text{azaz}tb\le n<at+a\mathrm{.}}\end{array}$ Ilyen $n$ csak akkor létezik, ha $tb\le at+a-1$, vagyis $t\le e:=[\frac{a-1}{b-a}]$. Minden ilyen $t$-re a megoldások száma éppen a pozitív egészek száma $tb$-től $at+a-1$-ig, tehát $t=0$ esetén $a-1$, egyébként pedig $\left(at+a-1\right)-\left(tb-1\right)=t\left(a-b\right)+a$. Tehát