|
Feladat: |
B.4381 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Ágoston Péter , Ágoston Tamás , Di Giovanni Márk , Havasi Márton , Herczeg József , Kabos Eszter , Kiss Eszter , Kutasi Kristóf , Maga Balázs , Medek Ákos , Mihálykó András , Nagy Bence Kristóf , Nagy Róbert , Simkó Irén , Strenner Péter , Tossenberger Tamás , Viharos Andor , Zahemszky Péter , Zsakó András |
Füzet: |
2012/március,
151 - 152. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Szerkesztések a térben, Térbeli ponthalmazok, Feladat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2011/szeptember: B.4381 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Bármely paralelepipedon élei három osztályba sorolhatók úgy, hogy az egy osztályban lévő négy él egymással párhuzamos és egyenlő hosszú. bármely élét a másik két osztályba tartozó négy-négy él közül kettő-kettő metszi, kettő-kettő pedig -hez képest kitérő (az 1. ábrán , , és ). E négy kitérő él közül a metsző-, illetve párhuzamos párok -nek azon a négy lapján helyezkednek el, amelyek -t nem tartalmazzák.
1. ábra
Tudjuk, hogy két kitérő egyeneshez pontosan egy olyan párhuzamos síkpár van, mely síkok egyike az egyik, másika a másik egyenest tartalmazza (ennek bizonyítása megtalálható pl. a Geometriai feladatok gyűjteménye I. kötetének 1699. feladatában). Tehát bármely két kitérő éléhez létezik -nek két párhuzamos lapja, amelyek mindegyike a két él közül az egyiket tartalmazza. A feladatban szereplő három kitérő egyenesből kiválasztható három egyenespár tehát meghatároz három párhuzamos síkpárt. E hat sík egyértelműen megad egy paralelepipedont. Ez azt jelenti, hogy a három egyenes egyértelműen meghatározza azt a paralelepipedont, amelynek az egyenesek mindegyikére illeszkedik éle.
2. ábra A paralelepipedon középpontja a test bármely két párhuzamos síkjától egyenlő távolságra van. Ezért a középpont annak a három síknak a metszéspontja, amelyeket úgy kapunk, hogy a három egyenes közül minden lehetséges módon kiválasztunk kettőt, és tekintjük azt a síkot, amely a két kiválasztott egyenessel párhuzamos, és azoktól egyenlő távolságra helyezkedik el (2. ábra). |
|