Feladat:	B.4381	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ágoston Péter ,  Ágoston Tamás ,  Di Giovanni Márk ,  Havasi Márton ,  Herczeg József ,  Kabos Eszter ,  Kiss Eszter ,  Kutasi Kristóf ,  Maga Balázs ,  Medek Ákos ,  Mihálykó András ,  Nagy Bence Kristóf ,  Nagy Róbert ,  Simkó Irén ,  Strenner Péter ,  Tossenberger Tamás ,  Viharos Andor ,  Zahemszky Péter ,  Zsakó András
Füzet:	2012/március, 151 - 152. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Szerkesztések a térben, Térbeli ponthalmazok, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2011/szeptember: B.4381

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. Bármely $\text{P}$ paralelepipedon élei három osztályba sorolhatók úgy, hogy az egy osztályban lévő négy él egymással párhuzamos és egyenlő hosszú. $\text{P}$ bármely $e$ élét a másik két osztályba tartozó négy-négy él közül kettő-kettő metszi, kettő-kettő pedig $e$-hez képest kitérő (az 1. ábrán $f_1$, $f_2$, $g_1$ és $g_2$). E négy kitérő él közül a metsző-, illetve párhuzamos párok $\text{P}$-nek azon a négy lapján helyezkednek el, amelyek $e$-t nem tartalmazzák.   1. ábra     Tudjuk, hogy két kitérő egyeneshez pontosan egy olyan párhuzamos síkpár van, mely síkok egyike az egyik, másika a másik egyenest tartalmazza (ennek bizonyítása megtalálható pl. a Geometriai feladatok gyűjteménye I. kötetének 1699. feladatában). Tehát $\text{P}$ bármely két kitérő éléhez létezik $\text{P}$-nek két párhuzamos lapja, amelyek mindegyike a két él közül az egyiket tartalmazza. A feladatban szereplő három kitérő egyenesből kiválasztható három egyenespár tehát meghatároz három párhuzamos síkpárt. E hat sík egyértelműen megad egy paralelepipedont. Ez azt jelenti, hogy a három egyenes egyértelműen meghatározza azt a paralelepipedont, amelynek az egyenesek mindegyikére illeszkedik éle.     2. ábra   A paralelepipedon középpontja a test bármely két párhuzamos síkjától egyenlő távolságra van. Ezért a középpont annak a három síknak a metszéspontja, amelyeket úgy kapunk, hogy a három egyenes közül minden lehetséges módon kiválasztunk kettőt, és tekintjük azt a síkot, amely a két kiválasztott egyenessel párhuzamos, és azoktól egyenlő távolságra helyezkedik el (2. ábra).