Feladat: B.4381 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Ágoston Péter ,  Ágoston Tamás ,  Di Giovanni Márk ,  Havasi Márton ,  Herczeg József ,  Kabos Eszter ,  Kiss Eszter ,  Kutasi Kristóf ,  Maga Balázs ,  Medek Ákos ,  Mihálykó András ,  Nagy Bence Kristóf ,  Nagy Róbert ,  Simkó Irén ,  Strenner Péter ,  Tossenberger Tamás ,  Viharos Andor ,  Zahemszky Péter ,  Zsakó András 
Füzet: 2012/március, 151 - 152. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szerkesztések a térben, Térbeli ponthalmazok, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2011/szeptember: B.4381

Adott három, páronként kitérő egyenes. Hol helyezkedhet el a középpontja egy olyan paralelepipedonnak, amelynek az egyenesek mindegyikére illeszkedik éle?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. Bármely P paralelepipedon élei három osztályba sorolhatók úgy, hogy az egy osztályban lévő négy él egymással párhuzamos és egyenlő hosszú. P bármely e élét a másik két osztályba tartozó négy-négy él közül kettő-kettő metszi, kettő-kettő pedig e-hez képest kitérő (az 1. ábrán f1, f2, g1 és g2). E négy kitérő él közül a metsző-, illetve párhuzamos párok P-nek azon a négy lapján helyezkednek el, amelyek e-t nem tartalmazzák.

 

1. ábra
 

 
Tudjuk, hogy két kitérő egyeneshez pontosan egy olyan párhuzamos síkpár van, mely síkok egyike az egyik, másika a másik egyenest tartalmazza (ennek bizonyítása megtalálható pl. a Geometriai feladatok gyűjteménye I. kötetének 1699. feladatában). Tehát P bármely két kitérő éléhez létezik P-nek két párhuzamos lapja, amelyek mindegyike a két él közül az egyiket tartalmazza.
A feladatban szereplő három kitérő egyenesből kiválasztható három egyenespár tehát meghatároz három párhuzamos síkpárt. E hat sík egyértelműen megad egy paralelepipedont. Ez azt jelenti, hogy a három egyenes egyértelműen meghatározza azt a paralelepipedont, amelynek az egyenesek mindegyikére illeszkedik éle.
 

 
2. ábra
 

A paralelepipedon középpontja a test bármely két párhuzamos síkjától egyenlő távolságra van. Ezért a középpont annak a három síknak a metszéspontja, amelyeket úgy kapunk, hogy a három egyenes közül minden lehetséges módon kiválasztunk kettőt, és tekintjük azt a síkot, amely a két kiválasztott egyenessel párhuzamos, és azoktól egyenlő távolságra helyezkedik el (2. ábra).