Feladat:	4426. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ürge László
Füzet:	2012/november, 502 - 503. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Feladat, Tökéletesen rugalmas ütközések, Síkinga, Rezgőmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2012/március: 4426. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Megoldás. A két golyó rugalmas ütközésére érvényes a lendületmegmaradás és a mechanikai energiamegmaradás törvénye: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle m{v}_0}& {\displaystyle =m{v}_1+M{v}_2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{1}{2}m{v}_0^2}& {\displaystyle =\frac{1}{2}m{v}_1^2+\frac{1}{2}M{v}_2^2\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A fenti két egyenletből   (felhasználva, hogy az energiamegmaradás törvénye szerint a leérkező golyó sebessége $v_0=\sqrt[]{2g\ell }$) az ütközés utáni sebességek számíthatók: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle v_1}& {\displaystyle =\frac{m-M}{m+M}{v}_0=\frac{m-M}{m+M}\sqrt[]{2g\ell }\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle v_2}& {\displaystyle =\frac{2m}{m+M}{v}_0=\frac{2m}{m+M}\sqrt[]{2g\ell }\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ A $v_1$ sebesség ismeretében érdemes megvizsgálni, hogy mekkora szöggel tér ki a fonálon függő golyó az ütközés után. Az emelkedési magasság $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta h=\frac{v_1^2}{2g}={\left(\frac{m-M}{m+M}\right)}^2\ell \mathrm{,}}\end{array}$ az inga legnagyobb szögkitérése tehát az ütközés után $\begin{array}{c}{\displaystyle {\phi }_{\text{max.}}=\text{arccos}\left(\frac{\ell -\Delta h}{\ell }\right)=\text{arccos}\frac{4mM}{{\left(m+M\right)}^2}=5\mathrm{,}{6}^{\circ }\mathrm{.}}\end{array}$ Ez a szög elég kicsi ahhoz, hogy az inga mozgását $2\pi \sqrt[]{\ell /g}$ rezgésidejű harmonikus rezgőmozgással közelíthessük. $a)$ A második ütközés akkor történik ugyanott, mint az első, ha a rugó‐golyó rendszer periódusideje ugyanekkora, mint az ingáé:   $\begin{array}{c}{\displaystyle 2\pi \sqrt[]{\frac{\ell }{g}}=2\pi \sqrt[]{\frac{M}{D}}\mathrm{.}}\end{array}$   A rugó direkciós ereje tehát   $\begin{array}{c}{\displaystyle D=\frac{Mg}{\ell }=37\mathrm{,}6\frac{\text{N}}{\text{m}}\mathrm{.}}\end{array}$   $b)$ A két ütközés között egy félperiódusnyi, azaz:   $\begin{array}{c}{\displaystyle t=\pi \sqrt[]{\frac{\ell }{g}}=0\mathrm{,}55\text{s }}\end{array}$   idő telik el. $c)$ A két golyó akkor lesz legmesszebb egymástól, amikor maximális a kitérésük; az azonos periódusidő miatt ez egyszerre történik. A rugó legnagyobb kitérését a mechanikai energiamegmaradás törvényéből kapjuk meg: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \frac{1}{2}M{v}_2^2}& {\displaystyle =\frac{1}{2}D{x}^2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{1}{2}M\cdot 2g\ell {\left(\frac{2m}{m+M}\right)}^2}& {\displaystyle =\frac{1}{2}\frac{Mg}{\ell }{x}^2\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x=\sqrt[]{2}\ell \left(\frac{2m}{m+M}\right)}& {\displaystyle \approx 40\text{cm. }}\hfill \end{array}}$ A fonálon függő golyó maximális kitérése: $y=\ell \text{sin}{\phi }_{\text{max.}}\approx 3\text{cm}$, ezt tekinthetjük vízszintes irányú elmozdulásnak, mert a függőleges $\Delta h\approx 1$ mm emelkedés $y$ mellett elhanyagolhatóan kicsi. A két golyó tehát az első ütközés után $x+y=43$ cm-re távolodik el egymástól.