Feladat: 4426. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Ürge László 
Füzet: 2012/november, 502 - 503. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Tökéletesen rugalmas ütközések, Síkinga, Rezgőmozgás (Tömegpont mozgásegyenlete)
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2012/március: 4426. fizika feladat

Vízszintes, sima asztallapon egyik végén megtámasztott csavarrugó másik végénél egy M=1,15 kg tömegű golyó nyugszik. Ezzel a golyóval egy másik, =0,30 m hosszú függőleges fonálon függő, m=1,00 kg tömegű golyó érintkezik. A fonálon függő golyót a vízszintesig kitérítjük, majd kezdősebesség nélkül elengedjük. A leérkező golyó sebessége a rugó tengelyébe esik. A két golyó ütközése abszolút rugalmas.
 
 

a) Mekkorának kell lennie a rugó direkciós erejének, hogy a két golyó második ütközése is ugyanott történjen, ahol az első?
b) Mennyi idő telik el a két ütközés között?
c) Az első ütközés után maximálisan milyen messzire kerül a két golyó egymástól?

(Minden súrlódás és a rugó tömege elhanyagolható.)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Megoldás. A két golyó rugalmas ütközésére érvényes a lendületmegmaradás és a mechanikai energiamegmaradás törvénye:
mv0=mv1+Mv2,12mv02=12mv12+12Mv22.
A fenti két egyenletből
 
(felhasználva, hogy az energiamegmaradás törvénye szerint a leérkező golyó sebessége v0=2g) az ütközés utáni sebességek számíthatók:
v1=m-Mm+Mv0=m-Mm+M2g,v2=2mm+Mv0=2mm+M2g.

A v1 sebesség ismeretében érdemes megvizsgálni, hogy mekkora szöggel tér ki a fonálon függő golyó az ütközés után. Az emelkedési magasság
Δh=v122g=(m-Mm+M)2,
az inga legnagyobb szögkitérése tehát az ütközés után
φmax.=arccos(-Δh)=arccos4mM(m+M)2=5,6.
Ez a szög elég kicsi ahhoz, hogy az inga mozgását 2π/g rezgésidejű harmonikus rezgőmozgással közelíthessük.
a) A második ütközés akkor történik ugyanott, mint az első, ha a rugó‐golyó rendszer periódusideje ugyanekkora, mint az ingáé:
 

2πg=2πMD.
 

A rugó direkciós ereje tehát
 
D=Mg=37,6Nm.
 

b) A két ütközés között egy félperiódusnyi, azaz:
 
t=πg=0,55s  
 

idő telik el.
c) A két golyó akkor lesz legmesszebb egymástól, amikor maximális a kitérésük; az azonos periódusidő miatt ez egyszerre történik. A rugó legnagyobb kitérését a mechanikai energiamegmaradás törvényéből kapjuk meg:
12Mv22=12Dx2,12M2g(2mm+M)2=12Mgx2,x=2(2mm+M)40cm.  
A fonálon függő golyó maximális kitérése: y=sinφmax.3cm, ezt tekinthetjük vízszintes irányú elmozdulásnak, mert a függőleges Δh1 mm emelkedés y mellett elhanyagolhatóan kicsi.
A két golyó tehát az első ütközés után x+y=43 cm-re távolodik el egymástól.