Kezdőlap


Feladat:	4257. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Kovács Áron
Füzet:	2010/december, 563. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Forgási energia
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2010/május: 4257. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük a félgömb sugarát $R$ -rel ( $R = n r = 8$ cm), a karika tömegét $m$ -mel. Mivel a karika keskeny, minden darabkája a középpontjától $r$ távolságra van, így a (középpontjára vonatkoztatott) tehetetlenségi nyomatéka $Θ = m r^{2}$ .
A karikán csak a nehézségi erő végez munkát, hiszen a tömegközéppont elmozdulására mindig merőleges $N$ nyomóerő munkája nulla, és ugyanez érvényes ‐ csúszásmentes gördülés esetén ‐ az $S$ súrlódási erőre is. A munkatétel szerint

\begin{matrix} \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} Θ ω^{2} = m g (R - r), \end{matrix}

ahol

v

a karika tömegközéppontjának sebessége,

ω

pedig a karika szögsebessége a pálya legmélyebb pontjában.

A csúszásmentes gördülés kényszerfeltétele szerint a karika gömbbel érintkező

P

pontjának pillanatnyi sebessége mindig nulla kell legyen. Ez a sebesség a tömegközéppont sebességének és a

P

pont kerületi sebességének vektori összege:

\begin{matrix} v - r ω = 0. \end{matrix}

Ennek megfelelően a forgási energia:

\begin{matrix} \frac{1}{2} Θ ω^{2} = \frac{1}{2} m r^{2} ω^{2} = \frac{1}{2} m {(r ω)}^{2} = \frac{1}{2} m v^{2}, \end{matrix}

amit a munkatétel egyenletébe írva a keresett sebességre

\begin{matrix} v = \sqrt[]{g (R - r)} = \sqrt[]{g (n - 1) r} = 0, 77 \frac{m}{s} \end{matrix}

adódik.