Feladat: 4257. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Kovács Áron 
Füzet: 2010/december, 563. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Forgási energia
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2010/május: 4257. fizika feladat

Üres félgömb belsejében egy keskeny karika csúszásmentesen gördül le, valamelyik vízszintes átmérőjének egyik végpontjából. Mekkora sebességgel ér le a gömb mélypontjába? A karika sugara r=2 cm, a félgömb sugara n=4-szer nagyobb, mint a karikáé. A félgömb rögzített, átmérősíkja vízszintes.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük a félgömb sugarát R-rel (R=nr=8 cm), a karika tömegét m-mel. Mivel a karika keskeny, minden darabkája a középpontjától r távolságra van, így a (középpontjára vonatkoztatott) tehetetlenségi nyomatéka Θ=mr2.
A karikán csak a nehézségi erő végez munkát, hiszen a tömegközéppont elmozdulására mindig merőleges N nyomóerő munkája nulla, és ugyanez érvényes ‐ csúszásmentes gördülés esetén ‐ az S súrlódási erőre is. A munkatétel szerint

12mv2+12Θω2=mg(R-r),
ahol v a karika tömegközéppontjának sebessége, ω pedig a karika szögsebessége a pálya legmélyebb pontjában.
 
 

A csúszásmentes gördülés kényszerfeltétele szerint a karika gömbbel érintkező P pontjának pillanatnyi sebessége mindig nulla kell legyen. Ez a sebesség a tömegközéppont sebességének és a P pont kerületi sebességének vektori összege:
v-rω=0.
Ennek megfelelően a forgási energia:
12Θω2=12mr2ω2=12m(rω)2=12mv2,
amit a munkatétel egyenletébe írva a keresett sebességre
v=g(R-r)=g(n-1)r=0,77ms
adódik.