Kezdőlap


Feladat:	3898. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Pósa László
Füzet:	2007/február, 116 - 117. oldal		PDF file
Témakör(ök):	Ütközés fallal, Merev test impulzusnyomatéka (perdülete), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/május: 3898. fizika feladat

Függőleges tengely körül könnyen forgatható, vízszintes síkú,

m = 0, 6 kg

tömegű,

R = 10 cm

sugarú korong lapján sugarára illeszkedő, elhanyagolható tömegű síklap van rögzítve. A síklapra merőlegesen vízszintes sebességgel érkező

m_{1} = 20 g

tömegű lövedék a tengelytől

r = 8 cm

-re az akadálynak ütközik, aminek következtében a korong

ω = 20 s^{- 1}

nagyságú szögsebességgel forogni kezd. Mekkora volt a becsapódó lövedék sebessége, ha

a)

az akadályban megakadt;

b)

az akadályról tökéletesen rugalmasan visszapattant?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. $a)$ A korong tengelye nem fejt ki számottevő forgatónyomatékot a könnyen forgatható korongra, emiatt a tengelyre vonatkoztatott perdület mindkét ütközés során megmarad. Ennek értelmében a rugalmatlan ütközésnél fennáll:

\begin{matrix} m_{1} r v = m_{1} r^{2} ω + Θ ω, \end{matrix}

ahol

Θ = \frac{1}{2} m R^{2}

a korong tehetetlenségi nyomatéka. (Kihasználtuk, hogy az akadályban megakadó lövedék a koronggal együtt forogni kezd, így a kerületi sebessége

r ω

, lendülete

m_{1} r ω

, perdülete pedig

m_{1} r^{2} ω

lesz.) Innen a becsapódó lövedék sebessége kiszámítható:

\begin{matrix} v = \frac{2 m_{1} r^{2} + m R^{2}}{2 m_{1} r} ω = 39, 1 \frac{m}{s} . \end{matrix}

b)

Ha a lövedék rugalmasan ütközik az akadállyal, s arról

u

sebességgel visszapattan, akkor a perdületmegmaradás tétele mellett a mechanikai energia megmaradását is felírhatjuk:

\begin{matrix} m_{1} r v = Θ ω - m_{1} r u, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} v + u = \frac{m R^{2} ω}{2 m_{1} r}, \end{matrix}

(1)

illetve

\begin{matrix} \frac{1}{2} m_{1} v^{2} = \frac{1}{2} m_{1} u^{2} + \frac{1}{2} Θ ω^{2}, \end{matrix}

átrendezve

\begin{matrix} v^{2} - u^{2} = \frac{m R^{2} ω^{2}}{2 m_{1}} . \end{matrix}

(2)

Osszuk el a (2) egyenletet (1)-gyel:

\begin{matrix} \frac{v^{2} - u^{2}}{v + u} = v - u = r ω, \end{matrix}

majd adjuk ezt hozzá (1)-hez:

\begin{matrix} (v - u) + (v + u) = 2 v = \frac{m R^{2} ω}{2 m_{1} r} + r ω, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} v = \frac{m R^{2} + 2 m_{1} r^{2}}{4 m_{1} r} ω = 19, 55 \frac{m}{s} . \end{matrix}

Megjegyzés. Érdekes, hogy a feladat számadataitól függetlenül a becsapódó lövedék sebességének a rugalmatlan ütközésnél éppen kétszer nagyobbnak kell lennie, mint amikor rugalmasan pattan vissza.