Kezdőlap


Feladat:	3930. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Szolnoki Lénárd
Füzet:	2007/május, 309 - 310. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Áramvezetés gázokban, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/november: 3930. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. $a)$ A teljes áramkörre vonatkozó Ohm-törvény:

\begin{matrix} U_{0} = A + \frac{B}{I} + I R, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} R I^{2} - (U_{0} - A) I + B = 0. \end{matrix}

Ennek a másodfokú egyenletnek akkor van megoldása, ha a diszkrimináns nem negatív:

\begin{matrix} {(U_{0} - A)}^{2} - 4 R B \geq 0, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} R \leq R_{{max}_{}^{}} = \frac{{(U_{0} - A)}^{2}}{4 B} = 61, 25 Ω . \end{matrix}

b)

Tegyük fel, hogy

R < R_{{max}_{}^{}}

, és oldjuk meg az áramerősségre vonatkozó egyenletet!

\begin{matrix} I_{1,2} = \frac{(U_{0} - A) \pm \sqrt[]{{(U_{0} - A)}^{2} - 4 B R}}{2 R} . \end{matrix}

A megadott számadatok esetén a gyökök:

\begin{matrix} I_{1} = 0, 4 A és I_{1} = 1, 0 A . \end{matrix}

A két megoldás közül csak az egyik, az 1 A-es áramerősség stabil, a 0,4 A pedig instabil. Ezt a következőképpen láthatjuk be.
Tételezzük fel, hogy kezdetben

I = 1 A

-es áram folyik, ekkor éppen akkora a szénrudak közötti feszültség és az ellenálláson eső feszültség összege, mint a telepfeszültség. Ha most valamilyen ok miatt egy kicsit megnő az áramerősség, akkor a szénrudak közötti feszültség az adott áramerősséghez tartozó ívfeszültségnél kisebbé válik, és ez az áramerősség csökkenését eredményezi. Ha az áramerősség valamiért egy kicsit 1 A alá csökken, a szénrudakra jutó feszültség nagyobb lesz, mint amennyi az adott áramhoz szükséges lenne, ez az áram növekedését eredményezi.
A másodfokú egyenlet másik gyökénél,

I = 0, 4

A-nél éppen fordított a helyzet. Ha az áram valamilyen ok miatt egy kicsit lecsökken, az a szénrudak közötti feszültséget úgy változtatja meg, hogy az áram tovább csökken, egészen addig, amíg meg nem szűnik az ívkisülés. Ha viszont az áram egy kicsit meghaladja a 0,4 A-t, az további áram-növekedést indít el, s az áram hirtelen megnő, egészen az 1 A-es stabil értékig.

Megjegyzés. Általánosan belátható, hogy az áramvezetés stabilitását az áramkörben levő elemek feszültség-áram karakterisztikáját meghatározó

U (I)

deriváltjának előjele dönti el. Ha az

U'

mennyiség negatív, akkor az áram instabil, ha pozitív, akkor stabil. Jelen esetben

\begin{matrix} U (I) = I R + A + \frac{B}{I}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} U' = \frac{d U}{d I} = R - \frac{B}{I^{2}}, \end{matrix}

ami

I_{1} = 0, 4 A

-nél

- 75 Ω < 0,

ez tehát az instabil állapot,

I_{2} = 1 A

-nél viszont a derivált értéke

30 Ω > 0,

tehát ez felel meg a stabil áramerősségnek.