Feladat: 3930. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Szolnoki Lénárd 
Füzet: 2007/május, 309 - 310. oldal  PDF file
Témakör(ök): Áramvezetés gázokban, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/november: 3930. fizika feladat

Az ábrán látható kapcsolásban két szénrúd segítségével (a rudak összeérintésével, majd széthúzásával) elektromos ívfényt állítunk elő. Az elektromos ívkisülésnél az áram és a szénrudak közötti feszültség kapcsolatát az U=A+BI formulával adhatjuk meg, ahol A és B állandók.
 
 

a) Ha U0 az állandónak tekinthető telepfeszültség, mekkora Rmax előtétellenállás esetén indul meg az ívkisülés?
b) Adott R<Rmax előtétellenállás esetén mekkora lesz a stabil áramerősség?

Adatok: A=30V, B=20W, U0=100V, R=50Ω.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. a) A teljes áramkörre vonatkozó Ohm-törvény:

U0=A+BI+IR,
vagyis
RI2-(U0-A)I+B=0.
Ennek a másodfokú egyenletnek akkor van megoldása, ha a diszkrimináns nem negatív:
(U0-A)2-4RB0,
azaz
RRmax=(U0-A)24B=61,25Ω.

b) Tegyük fel, hogy R<Rmax, és oldjuk meg az áramerősségre vonatkozó egyenletet!
I1,2=(U0-A)±(U0-A)2-4BR2R.
A megadott számadatok esetén a gyökök:
I1=0,4AésI1=1,0A.

A két megoldás közül csak az egyik, az 1 A-es áramerősség stabil, a 0,4 A pedig instabil. Ezt a következőképpen láthatjuk be.
Tételezzük fel, hogy kezdetben I=1A-es áram folyik, ekkor éppen akkora a szénrudak közötti feszültség és az ellenálláson eső feszültség összege, mint a telepfeszültség. Ha most valamilyen ok miatt egy kicsit megnő az áramerősség, akkor a szénrudak közötti feszültség az adott áramerősséghez tartozó ívfeszültségnél kisebbé válik, és ez az áramerősség csökkenését eredményezi. Ha az áramerősség valamiért egy kicsit 1 A alá csökken, a szénrudakra jutó feszültség nagyobb lesz, mint amennyi az adott áramhoz szükséges lenne, ez az áram növekedését eredményezi.
A másodfokú egyenlet másik gyökénél, I=0,4 A-nél éppen fordított a helyzet. Ha az áram valamilyen ok miatt egy kicsit lecsökken, az a szénrudak közötti feszültséget úgy változtatja meg, hogy az áram tovább csökken, egészen addig, amíg meg nem szűnik az ívkisülés. Ha viszont az áram egy kicsit meghaladja a 0,4 A-t, az további áram-növekedést indít el, s az áram hirtelen megnő, egészen az 1 A-es stabil értékig.
 
Megjegyzés. Általánosan belátható, hogy az áramvezetés stabilitását az áramkörben levő elemek feszültség-áram karakterisztikáját meghatározó U(I) deriváltjának előjele dönti el. Ha az U' mennyiség negatív, akkor az áram instabil, ha pozitív, akkor stabil. Jelen esetben
U(I)=IR+A+BI,
tehát
U'=dUdI=R-BI2,
ami I1=0,4A-nél -75Ω<0, ez tehát az instabil állapot, I2=1A-nél viszont a derivált értéke 30Ω>0, tehát ez felel meg a stabil áramerősségnek.