Feladat: 3920. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bogár Péter ,  Pósa László 
Füzet: 2007/május, 306 - 308. oldal  PDF file
Témakör(ök): Síkinga, Gauss-törvény, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/október: 3920. fizika feladat

Nagy kiterjedésű, függőleges szigetelő síklap egyenletes felületi töltéssűrűsége σ. A közelében függ l hosszú szigetelő szálon egy m tömegű, semleges, pici test. A fonálon függő testnek q elektromos töltést adunk, majd magára hagyjuk.
a) Mekkora lesz a fonálnak a függőlegessel bezárt legnagyobb szöge?
b) Mekkora lesz a kis test legnagyobb sebessége?
c) Mekkora a mozgás periódusideje?

Adatok: l=1m, m=10-3kg, q=10-8C, σ=10-6C/m2.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A ,,végtelen nagynak'' tekintett szigetelő síklap elektromos tere a lap mindkét oldalán a síklapra merőleges, homogén, nagysága (E) pedig a Gauss-törvény alapján számítható ki. A síklap A területű, Q töltésű darabkájából a két oldalon összesen 2AE elektromos fluxus (erővonal) indul ki (1. ábra), fennáll tehát

2AE=Qε0,
azaz Q=σA felhasználásával a térerősség nagysága
E=σ2ε0.

 

 
1. ábra
 

A feltöltött testre F=Eq nagyságú, vízszintes irányú elektromos erő hat, ez önmagában
a=Eqm=σq2ε0m=0,56ms2
vízszintes gyorsulást hozna létre. A testre az elektrosztatikus erő mellett G=mg nagyságú, függőleges irányú gravitációs erő is hat. Ezen két erő eredője olyan mozgást eredményez, mintha a fonál végén levő pici testet hirtelen egy, a valóságostól eltérő,
g=g2+a2=9,83ms2
nagyságú, a függőlegessel
φ=arctgag=3,23
szöget bezáró gravitációs gyorsulású térbe helyeztük volna (2. ábra).
 

 
2. ábra
 

a) Ebben az új ,,gravitációs mezőben'' a kis test kezdeti szögkitérése φ, a lengéseinek másik fordulópontja tehát az egyensúlyi helyzettel (látszólagos függőlegessel) ugyancsak φ, a valódi függőlegessel 2φ=6,5 szöget zár be (3. ábra).
 

 
3. ábra
 

b) Az inga legnagyobb sebességét az új gravitációs térben felírt energia-tételből határozhatjuk meg:
12mvmax2=mgh,
ahol (lásd a 3. ábrát)
h=l-lcosφ.
A megadott számadatokkal vmax-ra 0,18m/s adódik.
c) A mozgás a kicsiny szögkitérések miatt harmonikus lengésnek tekinthető, melynek periódusideje
T=2πlg2,0s.