Kezdőlap


Feladat:	3903. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Lovas Lia Izabella , Mándi Gábor
Füzet:	2007/április, 239 - 240. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Fényelektromos hatás (fotoeffektus), Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/május: 3903. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Táblázati adatok szerint az alumínium kilépési munkája

\begin{matrix} W = 4, 25 eV = 6, 8 \cdot 10^{- 19} J . \end{matrix}

Ez az érték sokkal kisebb, mint az elektron

m c^{2}

nyugalmi tömege, ezért feltehető, hogy a nemrelativisztikus energia- és impulzus-képletekkel számolhatunk.
A fényelektromos jelenségnél az energiamegmaradás

\begin{matrix} E_{f} = W + E_{e} \end{matrix}

alakban írható fel, ahol a foton energiája és az impulzusa között

\begin{matrix} E_{f} = c p_{f} \end{matrix}

az összefüggés, az elektron mozgási energiája és impulzusa között pedig

\begin{matrix} E_{e} = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{p_{e}^{2}}{2 m} . \end{matrix}

Az energia-tétel tehát:

\begin{matrix} c p_{f} = W + \frac{p_{e}^{2}}{2 m} . \end{matrix}

Osszuk el a fenti egyenletet

c p_{e}

-vel:

\begin{matrix} \frac{p_{f}}{p_{e}} = \frac{W}{c p_{e}} + \frac{p_{e}}{2 m c}, \end{matrix}

majd alkalmazzuk a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget:

\begin{matrix} \frac{p_{f}}{p_{e}} \geq 2 \sqrt[]{\frac{W}{c p_{e}} \cdot \frac{p_{e}}{2 m c}} = \sqrt[]{\frac{2 W}{m c^{2}}} \approx 4, 08 \cdot 10^{- 3} \approx \frac{1}{245} . \end{matrix}

A fémből kilökött ,,fotoelektronok'' impulzusa tehát a fotonok impulzusának legfeljebb 245-szöröse lehet.

II. megoldás. Számoljuk az elektron mozgási energiáját a relativisztikus

\begin{matrix} E_{e} = \sqrt[]{m^{2} c^{4} + c^{2} p_{e}^{2}} - m c^{2} \end{matrix}

összefüggésből, ahol

m

az elektron nyugalmi tömege:

\begin{matrix} c p_{f} = W + \sqrt[]{m^{2} c^{4} + c^{2} p_{e}^{2}} - m c^{2} . \end{matrix}

Célszerű minden energiát az elektron

m c^{2}

nyugalmi energiájához, az impulzusokat pedig az

m c

mennyiséghez viszonyítani, vagyis bevezetni a következő jelöléseket:

W = k \cdot m c^{2}

p_{e} = y \cdot m c

p_{f} = x \cdot m c

. Ezekkel az energiamegmaradás

\begin{matrix} x = k + \sqrt[]{1 + y^{2}} - 1 \end{matrix}

alakba írható, ahonnan

y

(az elektron impulzusa) kifejezhető

x

-szel (a foton impulzusával):

\begin{matrix} y (x) = \sqrt[]{x^{2} + 2 x (1 - k) - k (2 - k)} . \end{matrix}

A kérdéses hányados tehát

\begin{matrix} \frac{p_{e}}{p_{f}} = \frac{y}{x} = \sqrt[]{1 + \frac{2 (1 - k)}{x} - \frac{k (2 - k)}{x^{2}}} \equiv f (x), \end{matrix}

és ennek az

f (x)

függvénynek keressük a lehetséges értékeit. Ábrázolva

f (x)

-et (lásd az ábrát) látható, hogy a függvénynek egy bizonyos

x = x_{0}

értéknél maximuma van. A maximum helyét és a hozzá tartozó

f_{max}

értéket differenciálszámítással, vagy elemi úton, a gyök alatti kifejezés (amely

\frac{1}{x}

-ben másodfokú) teljes négyzetté alakításával is meghatározhatjuk:

\begin{matrix} f = \sqrt[]{\frac{1}{k (2 - k)} - k (2 - k) {[\frac{1}{x} - \frac{1 - k}{k (2 - k)}]}^{2}} \leq \sqrt[]{\frac{1}{k (2 - k)}} = f_{max} . \end{matrix}

Jelen esetben

k = 8, 3 \cdot 10^{- 6} ≪ 1

, így

\begin{matrix} f_{max} \approx \sqrt[]{\frac{1}{2 k}} \approx 245, \end{matrix}

amely közelítés éppen a nemrelativisztikus számolás eredményének felel meg.