Feladat: 3903. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Lovas Lia Izabella ,  Mándi Gábor 
Füzet: 2007/április, 239 - 240. oldal  PDF file
Témakör(ök): Fényelektromos hatás (fotoeffektus), Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/május: 3903. fizika feladat

Hányszorosa lehet az alumíniumból kiváltott fotoelektronok impulzusa a beeső foton impulzusának?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Táblázati adatok szerint az alumínium kilépési munkája

W=4,25eV=6,810-19J.
Ez az érték sokkal kisebb, mint az elektron mc2 nyugalmi tömege, ezért feltehető, hogy a nemrelativisztikus energia- és impulzus-képletekkel számolhatunk.
A fényelektromos jelenségnél az energiamegmaradás
Ef=W+Ee
alakban írható fel, ahol a foton energiája és az impulzusa között
Ef=cpf
az összefüggés, az elektron mozgási energiája és impulzusa között pedig
Ee=12mv2=pe22m.
Az energia-tétel tehát:
cpf=W+pe22m.
Osszuk el a fenti egyenletet cpe-vel:
pfpe=Wcpe+pe2mc,
majd alkalmazzuk a számtani és mértani közép közötti egyenlőtlenséget:
pfpe2Wcpepe2mc=2Wmc24,0810-31245.
A fémből kilökött ,,fotoelektronok'' impulzusa tehát a fotonok impulzusának legfeljebb 245-szöröse lehet.
 
II. megoldás. Számoljuk az elektron mozgási energiáját a relativisztikus
Ee=m2c4+c2pe2-mc2
összefüggésből, ahol m az elektron nyugalmi tömege:
cpf=W+m2c4+c2pe2-mc2.
Célszerű minden energiát az elektron mc2 nyugalmi energiájához, az impulzusokat pedig az mc mennyiséghez viszonyítani, vagyis bevezetni a következő jelöléseket: W=kmc2, pe=ymc, pf=xmc. Ezekkel az energiamegmaradás
x=k+1+y2-1
alakba írható, ahonnan y (az elektron impulzusa) kifejezhető x-szel (a foton impulzusával):
y(x)=x2+2x(1-k)-k(2-k).
A kérdéses hányados tehát
pepf=yx=1+2(1-k)x-k(2-k)x2f(x),
és ennek az f(x) függvénynek keressük a lehetséges értékeit. Ábrázolva f(x)-et (lásd az ábrát) látható, hogy a függvénynek egy bizonyos x=x0 értéknél maximuma van. A maximum helyét és a hozzá tartozó fmax értéket differenciálszámítással, vagy elemi úton, a gyök alatti kifejezés (amely 1x-ben másodfokú) teljes négyzetté alakításával is meghatározhatjuk:
f=1k(2-k)-k(2-k)[1x-1-kk(2-k)]21k(2-k)=fmax.
Jelen esetben k=8,310-61, így
fmax12k245,
amely közelítés éppen a nemrelativisztikus számolás eredményének felel meg.