Kezdőlap


Feladat:	3871. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Pósa László
Füzet:	2007/április, 235 - 236. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Newton-féle gravitációs erő, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/február: 3871. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A gravitációs térerősség (nehézségi gyorsulás) nagysága egy $M$ tömegű, $R$ sugarú, $ϱ$ sűrűségű (homogén) gömb felszíne felett $h$ magasságban:

\begin{matrix} g_{1} = γ \frac{M}{{(R + h)}^{2}} = γ \frac{4 R^{3} π ϱ}{3 {(R + h)}^{2}} . \end{matrix}

A felszín alatt

h

mélységben a gravitációs térerősséghez a bolygónak csak az

(R - h)

sugarú,

M'

tömegű részének vonzása ad járulékot:

\begin{matrix} g_{2} = γ \frac{M'}{{(R - h)}^{2}} = γ \frac{4 {(R - h)}^{3} π ϱ}{3 {(R - h)}^{2}} = γ \frac{4 (R - h) π ϱ}{3} . \end{matrix}

A két térerősség akkor egyenlő nagyságú, ha fennáll, hogy

\begin{matrix} \frac{R^{3}}{{(R + h)}^{2}} = R - h . \end{matrix}

h = 0

esetén nyilvánvalóan teljesül, de akkor is, ha

\begin{matrix} \frac{R}{h} = \frac{R + h}{R}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} \frac{h}{R} = \frac{\sqrt[]{5} - 1}{2} \approx 0, 618. \end{matrix}

(Ez a szám a híres aranymetszés arányszáma.)
A gravitációs potenciál a felszín felett

h

magasságban (ha a potenciált a szokásos módon a végtelenben választjuk nullának):

\begin{matrix} U_{1} (h) = - γ \frac{M}{R + h} = - γ \frac{4 R^{3} π ϱ}{3 (R + h)} . \end{matrix}

Megjegyzés. A negatív előjel a gravitáció vonzó jellegének következménye. A gravitációs potenciál ‐ az elektrosztatikus potenciállal analóg módon ‐ azzal a munkával egyenlő, amennyi árán egy egységnyi tömegű testet a ,,végtelenből'' az adott helyre vihetünk. Ez a munka negatív, mert egy testnek a végtelenbe távolításához kell munkát végeznünk.

A felszín alatt

h

mélységben a gravitációs potenciál abszolút értékét úgy határozhatjuk meg, hogy kiszámítjuk, mekkora

W

munkával vihetünk el onnan egy egységnyi tömegű testet a végtelenbe. A munkavégzést két részre bonthatjuk. A testet

h

mélységből a felszínig emelve a gravitációs térerősség lineárisan változik

g_{2} (R - h)

és

g_{2} (R)

között, számolhatunk tehát ezek átlagos értékével (a számtani közepükkel):

\begin{matrix} W_{1} = \frac{g_{2} (R - h) + g_{2} (R)}{2} h = γ \frac{2 π ϱ}{3} (2 R - h) h . \end{matrix}

A munkavégzés másik része az egységnyi tömegű testnek a bolygó felszínéről a végtelenbe távolításához szükséges munka, ami

| U_{1} (h) |

-nek

h = 0

-hoz tartozó értéke:

\begin{matrix} W_{2} = γ \frac{M}{R} = γ \frac{4 R^{2} π ϱ}{3} . \end{matrix}

Eszerint

\begin{matrix} U_{2} (h) = - (W_{1} + W_{2}) = - γ \frac{2 π ϱ}{3} [(2 R - h) h + 2 R^{2}] . \end{matrix}

A két potenciál aránya

h

korábban meghatározott értékénél:

\begin{matrix} \frac{U_{2}}{U_{1}} = (1 + \frac{h}{R}) [1 + \frac{h}{R} (1 - \frac{h}{2 R})] = \frac{7 + \sqrt[]{5}}{4} \approx 2, 31. \end{matrix}