Feladat: 3871. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Pósa László 
Füzet: 2007/április, 235 - 236. oldal  PDF file
Témakör(ök): Newton-féle gravitációs erő, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/február: 3871. fizika feladat

Egy gömb alakú, homogén anyageloszlású bolygón a felszíntől mért h magasságban és mélységben a gravitációs térerősség ugyanakkora. Mennyi e két helyhez tartozó gravitációs potenciálok aránya?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A gravitációs térerősség (nehézségi gyorsulás) nagysága egy M tömegű, R sugarú, ϱ sűrűségű (homogén) gömb felszíne felett h magasságban:

g1=γM(R+h)2=γ4R3πϱ3(R+h)2.
A felszín alatt h mélységben a gravitációs térerősséghez a bolygónak csak az (R-h) sugarú, M' tömegű részének vonzása ad járulékot:
g2=γM'(R-h)2=γ4(R-h)3πϱ3(R-h)2=γ4(R-h)πϱ3.

A két térerősség akkor egyenlő nagyságú, ha fennáll, hogy
R3(R+h)2=R-h.
Ez h=0 esetén nyilvánvalóan teljesül, de akkor is, ha
Rh=R+hR,
azaz
hR=5-120,618.
(Ez a szám a híres aranymetszés arányszáma.)
A gravitációs potenciál a felszín felett h magasságban (ha a potenciált a szokásos módon a végtelenben választjuk nullának):
U1(h)=-γMR+h=-γ4R3πϱ3(R+h).

 
Megjegyzés. A negatív előjel a gravitáció vonzó jellegének következménye. A gravitációs potenciál ‐ az elektrosztatikus potenciállal analóg módon ‐ azzal a munkával egyenlő, amennyi árán egy egységnyi tömegű testet a ,,végtelenből'' az adott helyre vihetünk. Ez a munka negatív, mert egy testnek a végtelenbe távolításához kell munkát végeznünk.
 

A felszín alatt h mélységben a gravitációs potenciál abszolút értékét úgy határozhatjuk meg, hogy kiszámítjuk, mekkora W munkával vihetünk el onnan egy egységnyi tömegű testet a végtelenbe. A munkavégzést két részre bonthatjuk. A testet h mélységből a felszínig emelve a gravitációs térerősség lineárisan változik g2(R-h) és g2(R) között, számolhatunk tehát ezek átlagos értékével (a számtani közepükkel):
W1=g2(R-h)+g2(R)2h=γ2πϱ3(2R-h)h.

A munkavégzés másik része az egységnyi tömegű testnek a bolygó felszínéről a végtelenbe távolításához szükséges munka, ami |U1(h)|-nek h=0-hoz tartozó értéke:
W2=γMR=γ4R2πϱ3.
Eszerint
U2(h)=-(W1+W2)=-γ2πϱ3[(2R-h)h+2R2].

A két potenciál aránya h korábban meghatározott értékénél:
U2U1=(1+hR)[1+hR(1-h2R)]=7+542,31.