Kezdőlap


Feladat:	3862. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bogár Péter , Csire Gábor , Engedy Balázs , Kónya Gábor , Nagy Csaba , Nagy Péter , Pálovics Róbert , Pásztor Attila , Széchenyi Gábor , Werner Miklós
Füzet:	2007/február, 105 - 106. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Fénytörés, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2006/január: 3862. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. $a)$ A gömb szimmetriája miatt feltételezhetjük, hogy a fénysugár az 1. ábrán látható módon vízszintesen érkezik.

1. ábra

Az ábra jelöléseit követve és a

b = d / R

dimenziótlan beesési paramétert használva felírhatjuk, hogy

\begin{matrix} α = arcsin b, \end{matrix}

(1)

továbbá a Snellius‐Descartes-törvény alapján

\begin{matrix} β = arcsin \frac{b}{n} . \end{matrix}

(2)

Az eltérülés

δ

szöge az ábráról könnyen leolvasható:

\begin{matrix} δ = 2 (α - β) + (180^{\circ} - 2 β) = 2 α + 180^{\circ} - 4 β, \end{matrix}

ami (1) és (2), valamint

n

értékének felhasználásával

\begin{matrix} δ (b) = 2 arcsin b + 180^{\circ} - 4 arcsin \frac{3 b}{4} . \end{matrix}

(3)

δ (b)

függvény grafikonját mutatja a 2. ábra. (A függvény páratlan, emiatt elegendő csak a

0 \leq b \leq 1

értékeket vizsgálnunk.) A grafikonról leolvasható, hogy ha

b

nagyobb, mint egy kritikus

b_{k}

érték, akkor két különböző

b

értékhez (párhuzamosan érkező két különböző fénysugárhoz) ugyanakkora eltérülési szög tartozik, tehát ezek a sugarak a vízcseppből kilépve ismét párhuzamosan haladnak tovább. A grafikonról leolvasható, hogy

b_{k} \approx 0, 25

, ez az érték numerikus számolással (akár már egy zsebszámológéppel is) pontosítható:

b_{k} \approx 0, 2516

. A megfelelő kritikus beesési szög:

α_{k} \approx 14, 57^{\circ}

2. ábra

b)

45^{\circ}

-os beesési szöghöz tartozó

b

paraméter

\begin{matrix} b_{1} = sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt[]{2}} \approx 0, 71. \end{matrix}

Ennek keressük a ,,párját'', vagyis azt a

b_{2}

értéket, melyre

δ (b_{2}) = δ (b_{1})

. A 2. ábráról leolvashatjuk, hogy

b_{2} \approx 0, 95

; a két sugár távolsága tehát

\begin{matrix} Δ d = R (b_{2} - b_{1}) = 0, 5 mm \cdot (0, 95 - 0, 71) = 0, 12 mm. \end{matrix}

Megjegyzés. A 2. ábrán megfigyelhető, hogy a

δ (b)

függvénynek szélsőértéke (minimuma) van egy bizonyos

b_{0}

értéknél. Differenciálszámítással bebizonyítható, hogy

b_{0} = \sqrt[]{\frac{4 - n^{2}}{3}} \approx 0, 861

, ez

α_{0} = 59, 4^{\circ}

-os beesési szögnek felel meg. Ennek ,,környékén'' érkező párhuzamos fénysugarak (pl. napsugarak) a cseppből (pl. egy felhő parányi vízcseppeiből) kilépve továbbra is jó közelítéssel párhuzamosak maradnak, tehát mind bejuthatnak egy távoli megfigyelő szemébe. Ez a megfigyelő a

δ (b_{0})

-nak megfelelő irányból erősebb fényt észlel, mint máshonnan, tehát egy fényes körívet lát az égen. Mivel az

n

törésmutató nagysága függ a fény hullámhosszától (színétől), a fényes körív helyzete is színfüggő lesz. Ez a szivárvány jelensége.