Feladat: 3862. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bogár Péter ,  Csire Gábor ,  Engedy Balázs ,  Kónya Gábor ,  Nagy Csaba ,  Nagy Péter ,  Pálovics Róbert ,  Pásztor Attila ,  Széchenyi Gábor ,  Werner Miklós 
Füzet: 2007/február, 105 - 106. oldal  PDF file
Témakör(ök): Fénytörés, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2006/január: 3862. fizika feladat

Egy gömb alakú vízcsepphez érkező fénysugár megtörve belép a vízcseppbe. a csepp belső falán visszaverődik, majd egy másik pontnál kilép a cseppből.
a) Mutassuk meg (numerikusan), hogy egy bizonyos kritikus szögértéknél nagyobb beesési szög mellett mindig létezik egy másik fénysugár, ami az előzővel párhuzamosan érkezik a vízcsepphez, és a kilépő sugarak is párhuzamosak. Mekkora ez a kritikus szögérték?
b) Mekkora a két párhuzamosan belépő fénysugár közti távolság, ha a vízcsepp törésmutatója n=4/3, az egyik belépő fénysugár beesési szöge α=45 és a vízcsepp átmérője 1mm.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. a) A gömb szimmetriája miatt feltételezhetjük, hogy a fénysugár az 1. ábrán látható módon vízszintesen érkezik.

 

 
1. ábra
 

Az ábra jelöléseit követve és a b=d/R dimenziótlan beesési paramétert használva felírhatjuk, hogy
α=arcsinb,(1)
továbbá a Snellius‐Descartes-törvény alapján
β=arcsinbn.(2)
Az eltérülés δ szöge az ábráról könnyen leolvasható:
δ=2(α-β)+(180-2β)=2α+180-4β,
ami (1) és (2), valamint n értékének felhasználásával
δ(b)=2arcsinb+180-4arcsin3b4.(3)

A δ(b) függvény grafikonját mutatja a 2. ábra. (A függvény páratlan, emiatt elegendő csak a 0b1 értékeket vizsgálnunk.) A grafikonról leolvasható, hogy ha b nagyobb, mint egy kritikus bk érték, akkor két különböző b értékhez (párhuzamosan érkező két különböző fénysugárhoz) ugyanakkora eltérülési szög tartozik, tehát ezek a sugarak a vízcseppből kilépve ismét párhuzamosan haladnak tovább. A grafikonról leolvasható, hogy bk0,25, ez az érték numerikus számolással (akár már egy zsebszámológéppel is) pontosítható: bk0,2516. A megfelelő kritikus beesési szög: αk14,57.
 

 
2. ábra
 

b) A 45-os beesési szöghöz tartozó b paraméter
b1=sin45=120,71.
Ennek keressük a ,,párját'', vagyis azt a b2 értéket, melyre δ(b2)=δ(b1). A 2. ábráról leolvashatjuk, hogy b20,95; a két sugár távolsága tehát
Δd=R(b2-b1)=0,5mm(0,95-0,71)=0,12mm.  

 
Megjegyzés. A 2. ábrán megfigyelhető, hogy a δ(b) függvénynek szélsőértéke (minimuma) van egy bizonyos b0 értéknél. Differenciálszámítással bebizonyítható, hogy b0=4-n230,861, ez α0=59,4-os beesési szögnek felel meg. Ennek ,,környékén'' érkező párhuzamos fénysugarak (pl. napsugarak) a cseppből (pl. egy felhő parányi vízcseppeiből) kilépve továbbra is jó közelítéssel párhuzamosak maradnak, tehát mind bejuthatnak egy távoli megfigyelő szemébe. Ez a megfigyelő a δ(b0)-nak megfelelő irányból erősebb fényt észlel, mint máshonnan, tehát egy fényes körívet lát az égen. Mivel az n törésmutató nagysága függ a fény hullámhosszától (színétől), a fényes körív helyzete is színfüggő lesz. Ez a szivárvány jelensége.