A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Tudjuk, hogy bármely háromszögben nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van, ezért a szögek különbségei ugyanolyan előjelűek, mint a velük szemközti oldalak négyzeteinek különbségei. Tehát , és . Ezt a három egyenlőtlenséget összeadva, majd rendezve kapjuk, hogy
Mindkét oldalhoz -et adva, és felhasználva, hogy , kapjuk, hogy | | Ebből adódik a bizonyítandó alsó becslés. A felső becslés bizonyításához azt használjuk fel, hogy hegyesszögű háromszög bármely két oldalának négyzetösszege nagyobb, mint a harmadik oldal négyzete. Ezért , és . Ezt a három egyenlőtlenséget összeadva, majd rendezve kapjuk, hogy | | Adjunk mindkét oldalhoz -et és használjuk, hogy : | | Ismét keresztbeosztással adódik a bizonyítandó felső becslés. Az is következik a bizonyításból, hogy az alsó becslésnél pontosan akkor van egyenlőség, ha a háromszög szabályos, a felső becslésnél pedig semmilyen háromszög esetén nincs egyenlőség.
II. megoldás. Mivel a háromszög hegyesszögű, ezért , és . Tehát | | amiből osztással azonnal adódik a felső becslés. Mivel a vizsgált kifejezésben szimmetrikus a szögek szerepe, ezért feltehetjük, hogy . Ekkor is fennáll, mert nagyobb szöggel szemben nagyobb oldal van. A rendezett sorozatokból készített szorzatok összegére vonatkozó tétel szerint ekkor
E két egyenlőtlenséget összeadva és a kapott egyenlőtlenség mindkét oldalához -et adva kapjuk, hogy | | Ebből felhasználva, hogy , adódik a bizonyítandó alsó becslés. Az is látszik, hogy egyenlőség csak szabályos háromszög esetén áll fenn. |