Megoldás. Ha $n=1$, akkor éppen a kétjegyű négyzetszámokról van szó, ezek: 16, 25, 36, 49, 64, 81. A továbbiakban feltesszük, hogy $n\ge 2$. Négyzetszámot 4-gyel maradékosan osztva a maradék 0 vagy 1 lehet (azaz nem lehet sem 2, sem pedig 3). A 4-gyel való osztási maradék egyenlő a (10-es számrendszerben felírt) szám utolsó két jegye által alkotott szám 4-es maradékával. Négyzetszám csak 0-ra, 1-re, 4-re, 5-re, 6-ra vagy 9-re végződhet, ezek közül kerülhetnek csak ki $b$ lehetséges értékei. Ha $b$ értéke 1, 5 vagy 9, akkor a szám 4-gyel való osztási maradéka megegyezik 11, 55, illetve 99 maradékával, ami 3, míg $b=6$ esetén a 4-es maradék 66 maradéka, azaz 2; ez azt mutatja, hogy $b$ csak 0 vagy 4 lehet. Ha $b=4$, akkor $n$ legfeljebb 3 lehet: mivel $10000$ osztható 16-tal, egy természetes szám 16-tal való osztási maradéka ugyanaz, mint az utolsó négy jegyéből alkotott számé. Ha az utolsó négy számjegy mindegyike 4, akkor a maradék 12, ezért a szám osztható 4-gyel, de nem osztható 8-cal, a negyedrésze pedig ‐ ami szintén négyzetszám ‐ 4-gyel osztva $12/4=3$-at ad maradékul, ami lehetetlen. Az $n=2$, $b=4$ esetre $a$ 9-féle értékét kipróbálva egyedül $7744={88}^2$ megfelelő, az $n=3$, $b=4$ esetre pedig nem kapunk megoldást. Végül tegyük fel, hogy $b=0$. Ekkor nyilván $a\ne 0$, így a négyzetszámunk 10-nek pontosan az $n$-edik hatványával osztható; ezért az $n$ szükségképpen páros. A négyzetszámunk ${10}^n$-ed része (ami ekkor szintén négyzetszám) $\underset{n\text{ db}}{\overset{}{\underbrace{aaa\text{...}a}}}$, és ennek 4-es, illetve 16-os maradékát vizsgálva a korábban látottak szerint, és az $n\ge 2$ párosságát is figyelembe véve kapjuk, hogy $a=4$ és $n=2$; ezzel azonban
$\underset{n\text{ db}}{\overset{}{\underbrace{aaa\text{...}a}}}=44$, ami nem négyzetszám. Több megoldás tehát nem lévén, a megfelelő négyzetszámok: 16, 25, 36, 49, 64, 81, 7744.