Feladat: B.4216 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Cséke Balázs 
Füzet: 2010/május, 282. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Legnagyobb közös osztó
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2009/november: B.4216

Keressük meg az összes
aaa...an  dbbbb...bn  db
alakú négyzetszámot.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ha n=1, akkor éppen a kétjegyű négyzetszámokról van szó, ezek: 16, 25, 36, 49, 64, 81. A továbbiakban feltesszük, hogy n2. Négyzetszámot 4-gyel maradékosan osztva a maradék 0 vagy 1 lehet (azaz nem lehet sem 2, sem pedig 3). A 4-gyel való osztási maradék egyenlő a (10-es számrendszerben felírt) szám utolsó két jegye által alkotott szám 4-es maradékával. Négyzetszám csak 0-ra, 1-re, 4-re, 5-re, 6-ra vagy 9-re végződhet, ezek közül kerülhetnek csak ki b lehetséges értékei. Ha b értéke 1, 5 vagy 9, akkor a szám 4-gyel való osztási maradéka megegyezik 11, 55, illetve 99 maradékával, ami 3, míg b=6 esetén a 4-es maradék 66 maradéka, azaz 2; ez azt mutatja, hogy b csak 0 vagy 4 lehet. Ha b=4, akkor n legfeljebb 3 lehet: mivel 10000 osztható 16-tal, egy természetes szám 16-tal való osztási maradéka ugyanaz, mint az utolsó négy jegyéből alkotott számé. Ha az utolsó négy számjegy mindegyike 4, akkor a maradék 12, ezért a szám osztható 4-gyel, de nem osztható 8-cal, a negyedrésze pedig ‐ ami szintén négyzetszám ‐ 4-gyel osztva 12/4=3-at ad maradékul, ami lehetetlen. Az n=2, b=4 esetre a 9-féle értékét kipróbálva egyedül 7744=882 megfelelő, az n=3, b=4 esetre pedig nem kapunk megoldást. Végül tegyük fel, hogy b=0. Ekkor nyilván a0, így a négyzetszámunk 10-nek pontosan az n-edik hatványával osztható; ezért az n szükségképpen páros. A négyzetszámunk 10n-ed része (ami ekkor szintén négyzetszám) aaa...an  db, és ennek 4-es, illetve 16-os maradékát vizsgálva a korábban látottak szerint, és az n2 párosságát is figyelembe véve kapjuk, hogy a=4 és n=2; ezzel azonban
aaa...an  db=44, ami nem négyzetszám. Több megoldás tehát nem lévén, a megfelelő négyzetszámok: 16, 25, 36, 49, 64, 81, 7744.