A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Helyezzük a sakktáblát koordináta-rendszerbe úgy, hogy a mezők a rácspontok legyenek, a bal alsó mező koordinátái pedig legyenek . Így a gyalogok koordinátái a bal oldali helyzetben: | | a jobb oldaliban: | |
Úgy tudunk lépni a gyalogokkal, hogy egy gyalogot jelentő rácspontot tükrözünk egy olyan rácspontra, ahol szintén áll gyalog. Legyenek az koordinátájú gyalog koordinátái az koordinátájú gyalogot átugorva . Ezt középpontos tükrözéssel kaptuk, tehát igaz az, hogy Tudjuk, hogy , hiszen az koordinátájú pont rácspont, ezért -nek is egésznek kell lennie. Ez csak úgy lehet, ha és paritása megegyezik. Ez hasonlóan igaz a második koordinátákra is, vagyis és paritása is azonos. Ez azt jelenti, hogy a gyalogok koordinátái a lépések során nem váltanak paritást. Megfigyelhetjük, hogy a bal oldalon 4 olyan gyalog van, amelynek mindkét koordinátája páratlan; viszont a jobb oldalon csak 1 ilyen gyalog található. Így nem juthatunk el a bal oldalon látható helyzetből a jobb oldalon látható helyzetbe.
II. megoldás. Színezzünk be minden páratlanadik sort pirosra, a többit pedig kékre. Ekkor a bal oldalon 6 bábu kék, 3 pedig piros mezőn áll. Mivel a bábuk csak egy másik bábura tükrözve haladhatnak, azért ha egy bábu piros mezőről indul, akkor pirosra is érkezik; illetve ha kék mezőről indul, akkor pedig kékre érkezik. Azonban a jobb ábrán 3 bábu áll kék mezőn és 6 piroson, tehát nem lehet átjuttatni ebbe a helyzetbe a gyalogokat. |