Feladat: B.4214 Korcsoport: - Nehézségi fok: -
Megoldó(k):  Major Péter ,  Szakács Enikő 
Füzet: 2010/május, 281 - 282. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Sakktáblával kapcsolatos feladatok
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2009/november: B.4214

Egy sakktáblán a gyalogokkal a következő szabály szerint játszunk: minden gyalog átugorhat bármelyik másik gyalogon úgy, hogy arra nézve szimmetrikusan érkezzen a táblára. El lehet-e juttatni ily módon kilenc gyalogot a bal oldalon látható helyzetből a jobb oldalon látható helyzetbe?
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Helyezzük a sakktáblát koordináta-rendszerbe úgy, hogy a mezők a rácspontok legyenek, a bal alsó mező koordinátái pedig legyenek (1;1). Így a gyalogok koordinátái a bal oldali helyzetben:

(1;1),(1;2),(1;3),(2;1),(2;2),(2;3),(3;1),(3;2),(3;3),
a jobb oldaliban:
(6;6),(6;7),(6;8),(7;6),(7;7),(7;8),(8;6),(8;7),(8;8).

Úgy tudunk lépni a gyalogokkal, hogy egy gyalogot jelentő rácspontot tükrözünk egy olyan rácspontra, ahol szintén áll gyalog.
Legyenek az (n;k) koordinátájú gyalog koordinátái az (m;) koordinátájú gyalogot átugorva (n';k'). Ezt középpontos tükrözéssel kaptuk, tehát igaz az, hogy
n+n'2=m.
Tudjuk, hogy mZ, hiszen az (m;) koordinátájú pont rácspont, ezért n+n'2-nek is egésznek kell lennie. Ez csak úgy lehet, ha n és n' paritása megegyezik. Ez hasonlóan igaz a második koordinátákra is, vagyis k és k' paritása is azonos. Ez azt jelenti, hogy a gyalogok koordinátái a lépések során nem váltanak paritást.
Megfigyelhetjük, hogy a bal oldalon 4 olyan gyalog van, amelynek mindkét koordinátája páratlan; viszont a jobb oldalon csak 1 ilyen gyalog található. Így nem juthatunk el a bal oldalon látható helyzetből a jobb oldalon látható helyzetbe.
 
II. megoldás. Színezzünk be minden páratlanadik sort pirosra, a többit pedig kékre. Ekkor a bal oldalon 6 bábu kék, 3 pedig piros mezőn áll. Mivel a bábuk csak egy másik bábura tükrözve haladhatnak, azért ha egy bábu piros mezőről indul, akkor pirosra is érkezik; illetve ha kék mezőről indul, akkor pedig kékre érkezik.
Azonban a jobb ábrán 3 bábu áll kék mezőn és 6 piroson, tehát nem lehet átjuttatni ebbe a helyzetbe a gyalogokat.