Feladat: B.4213 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Zelena Réka 
Füzet: 2010/május, 280. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Feladat, Egyéb sokszögek geometriája, Derékszögű háromszögek geometriája, Külső szög tétel
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2009/november: B.4213

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A sokszög konvex, ezért minden szöge kisebb, mint 180∘. A sokszög feldarabolásában szereplő derékszögű háromszögek minden szöge 30∘-nak többszöröse, ezért a sokszög szögei is 30∘-nak többszörösei, tehát minden szög legfeljebb 150∘-os.
Tudjuk, hogy egy n oldalú sokszög szögeinek összege (n-2)⋅180∘, tehát esetünkben

(n-2)⋅180∘≤n⋅150∘,azazn≤12.
A feltételeknek eleget tevő tizenkétszög létezik is, egy ilyen látható az 1. ábrán. Ez úgy keletkezett, hogy először két egybevágó háromszöget téglalappá illesztettünk. Ezután annak hosszabbik oldalai fölé 4-4 harmadakkora háromszögből összerakott olyan szimmetrikus trapézokat helyeztünk, melyeknek két-két szöge 150∘, illetve 30∘. Végül ezekhez hasonló szimmetrikus trapézokat tettünk a téglalap rövidebbik oldalaira is. Az így 18 háromszögből készített tizenkétszög minden szöge 150∘-os.
 
 

1. ábra
 

Megjegyzések. 1. A feladatot külső szögek segítségével is megoldhatjuk. Tudjuk, hogy egy konvex sokszög külső szögeinek összege 360∘. Ha sokszögünk feldarabolható olyan háromszögekre, melyeknek minden szöge 30∘-nak többszöröse, akkor minden külső szög legalább 30∘. Vagyis a sokszögnek legfeljebb 36030=12 csúcsa van.
2. Ha a sokszög konvexségét nem követeljük meg, akkor a csúcsok száma tetszőlegesen nagy lehet. Ez könnyen belátható a 2. ábra alapján.

 
 

2. ábra