Feladat: B.4213 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Zelena Réka 
Füzet: 2010/május, 280. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Egyéb sokszögek geometriája, Derékszögű háromszögek geometriája, Külső szög tétel
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2009/november: B.4213

Legfeljebb hány oldalú lehet egy olyan konvex sokszög, amely feldarabolható olyan derékszögű háromszögekre, amelyek hegyesszögei 30 és 60 fokosak?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. A sokszög konvex, ezért minden szöge kisebb, mint 180. A sokszög feldarabolásában szereplő derékszögű háromszögek minden szöge 30-nak többszöröse, ezért a sokszög szögei is 30-nak többszörösei, tehát minden szög legfeljebb 150-os.
Tudjuk, hogy egy n oldalú sokszög szögeinek összege (n-2)180, tehát esetünkben

(n-2)180n150,azazn12.
A feltételeknek eleget tevő tizenkétszög létezik is, egy ilyen látható az 1. ábrán. Ez úgy keletkezett, hogy először két egybevágó háromszöget téglalappá illesztettünk. Ezután annak hosszabbik oldalai fölé 4-4 harmadakkora háromszögből összerakott olyan szimmetrikus trapézokat helyeztünk, melyeknek két-két szöge 150, illetve 30. Végül ezekhez hasonló szimmetrikus trapézokat tettünk a téglalap rövidebbik oldalaira is. Az így 18 háromszögből készített tizenkétszög minden szöge 150-os.
 
 

1. ábra
 

Megjegyzések. 1. A feladatot külső szögek segítségével is megoldhatjuk. Tudjuk, hogy egy konvex sokszög külső szögeinek összege 360. Ha sokszögünk feldarabolható olyan háromszögekre, melyeknek minden szöge 30-nak többszöröse, akkor minden külső szög legalább 30. Vagyis a sokszögnek legfeljebb 36030=12 csúcsa van.
2. Ha a sokszög konvexségét nem követeljük meg, akkor a csúcsok száma tetszőlegesen nagy lehet. Ez könnyen belátható a 2. ábra alapján.

 
 

2. ábra