Feladat: B.4212 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Alcer Dávid ,  Mihálka Éva Zsuzsanna 
Füzet: 2010/május, 279 - 280. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Százalékszámítás, Részhalmazok
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2009/november: B.4212

Egy mozi nézőterén a felnőttek 80%-a férfi, a hímnemű nézők 40%-a gyerek, a gyerekeknek pedig 20%-a fiú.
Legalább hányan nézik a filmet?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen a felnőttek száma x, a gyerekek száma pedig y. Így a férfiak száma 0,8x, a fiúk száma pedig 0,2y. Nyilván x, y egész számok, és a fiúk, illetve a férfiak száma is egész. Így 0,8x és 0,2y is egész számok kell, hogy legyenek; 0,8x=45x akkor egész, ha x osztható 5-tel.
A hímnemű nézőket a férfiak és a fiúk teszik ki, a gyerek hímnemű nézők pedig a fiúk. Így a hímnemű nézők száma 0,8x+0,2y, a fiúk száma pedig 0,2y=(0,8x+0,2y)0,4, amiből 3y=8x következik. Az egyenlet bal oldala osztható 3-mal, így a jobb oldal is 3-mal osztható. Ez akkor lehetséges, ha x osztható 3-mal.
Tudjuk tehát, hogy x-nek 5-tel és 3-mal is oszthatónak kell lennie. A legkisebb ilyen szám a 15. Ha x=15, akkor y=40. Ekkor 0,2y=8, ami egész, és 0,8x=12 szintén egész szám. Mivel x+y=15+40=55, azért legalább 55-en nézik a filmet.

 
II. megoldás. 1. Ha a gyerekek 20%-a fiú, akkor négyszer annyi lány van, mint fiú. Ennek alapján legalább 1 fiú és 4 lány van a moziban.
2. Másfélszer annyi férfi van a moziban, mint fiú (60%‐40%), ezért minimum 2 fiúnak kell lennie a moziban.
3. Ha a felnőttek 80%-a férfi, ez azt jelenti, hogy négyszer annyi férfi van a moziban, mint nő. Legalább 1 nő és 4 férfi van tehát a nézőtéren.
A férfiak száma tehát többszöröse a 4-nek (lásd 3. pont) és a 3-nak (lásd 2. pont), e két szám legkisebb közös többszöröse pedig a 12.
Ezért legalább 12 férfi, 3 nő, 8 fiú és 32 lány, tehát összesen legalább 55 néző van a moziban. Ha ettől eltérő számú néző van, akkor a nézők száma többszöröse az 55-nek.