Kezdőlap


Feladat:	B.4220	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Dorkó Barbara , Réti Dávid , Zelena Réka
Füzet:	2010/április, 225. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/november: B.4220

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Feltéve, hogy $x, y > 0$ a két egyenletet összeadva és a kapott egyenlet mindkét oldalát 2-vel elosztva kapjuk, hogy:

\begin{matrix} 1 = \frac{3}{\sqrt[]{x}} + \frac{1}{\sqrt[]{y}} . \end{matrix}

(1)

A másodikból az első egyenletet kivonva és 2-vel elosztva mindkét oldalt:

\begin{matrix} \frac{12}{3 x + y} = \frac{3}{\sqrt[]{y}} - \frac{1}{\sqrt[]{x}} . \end{matrix}

(2)

Az (1) és (2) egyenleteket összeszorozva:

\begin{matrix} \frac{12}{3 x + y} = \frac{9}{y} - \frac{1}{x} = \frac{9 x - y}{x y} . \end{matrix}

Közös nevezőre hozás után:

\begin{matrix} 12 x y = (9 x - y) (3 x + y) = 27 x^{2} + 6 x y - y^{2} . \end{matrix}

A másodfokú egyenlet szorzattá alakítva:

(3 x - y) \cdot (9 x + y) = 0

. Mivel

x, y > 0

, azért csak

3 x - y = 0

lehetséges, így

x = \frac{y}{3}

. Ezt behelyettesítve (1)-be:

\begin{matrix} 1 = \frac{\sqrt[]{3}}{\sqrt[]{y}} + \frac{3}{\sqrt[]{y}} . \end{matrix}

Innen

\sqrt[]{y} = 3 + \sqrt[]{3} \Rightarrow y = 12 + 6 \sqrt[]{3}

és

x = 4 + 2 \sqrt[]{3}

.
Tehát az egyenletrendszer megoldása:

x = 4 + 2 \sqrt[]{3} \approx 7, 464

y = 12 + 6 \sqrt[]{3} \approx 22, 392