Feladat: B.4220 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Dorkó Barbara ,  Réti Dávid ,  Zelena Réka 
Füzet: 2010/április, 225. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2009/november: B.4220

Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert:
1-123x+y=2x,1+123x+y=6y.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Feltéve, hogy x,y>0 a két egyenletet összeadva és a kapott egyenlet mindkét oldalát 2-vel elosztva kapjuk, hogy:

1=3x+1y.(1)
A másodikból az első egyenletet kivonva és 2-vel elosztva mindkét oldalt:
123x+y=3y-1x.(2)
Az (1) és (2) egyenleteket összeszorozva:
123x+y=9y-1x=9x-yxy.
Közös nevezőre hozás után:
12xy=(9x-y)(3x+y)=27x2+6xy-y2.
A másodfokú egyenlet szorzattá alakítva: (3x-y)(9x+y)=0. Mivel x,y>0, azért csak 3x-y=0 lehetséges, így x=y3. Ezt behelyettesítve (1)-be:
1=3y+3y.
Innen y=3+3y=12+63 és x=4+23.
Tehát az egyenletrendszer megoldása: x=4+237,464, y=12+6322,392.