Kezdőlap


Feladat:	B.4162	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Czeller Ildikó , Fonyó Dávid
Füzet:	2010/április, 215 - 216. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Természetes számok, Algebrai egyenlőtlenségek, Konstruktív megoldási módszer
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/március: B.4162

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Jelöljük $a_{1}, a_{2}, a_{3}, ..., a_{30}$ -cal az osztály tagjai által kapott csokik számát, ekkor nyilván

\begin{matrix} a_{1} + a_{2} + ... + a_{30} = 60. \end{matrix}

(1)

Mivel a feladat feltételei szerint mindenki kap csokit, először adjunk mindenkinek 1-1 darabot. Így marad még 30, amit nem kaphat egy személy, mivel akkor neki 31 db jutna, és így nem teljesülne a feladat másik feltétele. Tehát senki sem kaphatott 30-nál többet.
Ha minden gyereknek 2-2 csoki jutna, akkor közülük tetszőleges 15 főt egy csoportba gyűjtve, náluk összesen 30 édesség lenne, vagyis az állítás nyilvánvalóan teljesülne.
Ha a tanulók nem egyenlő mértékben részesülnek a csokikból, akkor válasszunk ki két olyan diákot, aki nem azonos számú édességet kapott, és legyen az általuk kapott csokik száma

a_{1}

és

a_{2}

(

a_{1} < a_{2}

). Tekintsük ezután a következő számokat:

\begin{matrix} b_{1} & = a_{1}, \\ b_{2} & = a_{2}, \\ b_{3} & = a_{1} + a_{2}, \\ b_{4} & = a_{1} + a_{2} + a_{3}, \\ ⋮ \\ b_{31} & = a_{1} + a_{2} + a_{3} + ... + a_{30} . \end{matrix}

Mivel

a_{1} < a_{2}

, a

b_{1}, b_{2}, ..., b_{31}

számsorozat szigorúan monoton növekvő, és a skatulya-elv értelmében van közöttük legalább kettő, amelyek 30-cal osztva azonos maradékot ad. (Az osztási maradék

0,1,2, ...,29

, azaz 30-féle lehet.)
Tegyük fel, hogy ez a kettő

b_{i}

és

b_{j}

(

b_{i} < b_{j}

); ekkor

30 ∣ b_{j} - b_{i}

. Nem lehet

i = 1

és

j = 2

, mert akkor

a_{2}

nagyobb lenne 30-nál. Így

\begin{matrix} 30 ∣ b_{j} - b_{i} = a_{i + 1} + a_{i + 2} + ... + a_{j} \end{matrix}

(2)

és

\begin{matrix} 0 < a_{i + 1} + a_{i + 2} + ... + a_{j} < a_{1} + a_{2} + ... + a_{30} = 60. \end{matrix}

(3)

A (2)-es és (3)-as feltételek alapján:

a_{i + 1} + a_{i + 2} + ... + a_{j} = 30

, ami éppen azt jelenti, hogy az osztályból kiválasztható egy olyan csoport, akiknél összesen 30 db csoki van. Ezzel az állítást igazoltuk.