Kezdőlap


Feladat:	4199. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Kószó Simon
Füzet:	2010/március, 182 - 183. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyéb elektromos mező
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/november: 4199. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Belátjuk, hogy az $O$ pontban az eredő térerősség nulla.
Tekintsük a félkörnek egy olyan $A B$ darabkáját, amely az $O$ pontból nézve kicsiny $Δ φ$ szög alatt látszik (lásd az ábrát)! Ezen a körívdarabkán $Δ Q_{1} = η \cdot R Δ φ$ töltés található, ha $R$ a félkör sugara, $η$ pedig a pálca egységnyi hosszúságú darabjának töltése. Ha $Δ φ$ nagyon kicsi, akkor a kérdéses töltés pontszerűnek tekinthető, és így az $O$ pontban a Coulomb-törvény szerint

\begin{matrix} E_{1} = k \frac{Δ Q_{1}}{R^{2}} = k η \frac{Δ φ}{R} \end{matrix}

nagyságú elektromos térerősséget hoz létre.

Vizsgáljuk most a pálca egyenes részének azon

C D

darabkáját, amely az

O

pontból nézve éppen

A B

-vel ,,szemben'', attól

d

távolságra helyezkedik el. Ezen a (kicsiny)

Δ x

hosszúságú szakaszon

Δ Q_{2} = η \cdot Δ x

töltés található.
Az ábrán látható

φ

szög két derékszögű háromszögben is felfedezhető. Ha a

d Δ φ

hosszú ívdarabkát egyenessel közelítjük, egyrészt fennáll, hogy

\begin{matrix} sin φ = \frac{d Δ φ}{Δ x}, másrészt sin φ = \frac{R}{d} . \end{matrix}

A fenti két összefüggésből a

C D

szakasz hosszára

\begin{matrix} Δ x = \frac{d^{2} Δ φ}{R}, \end{matrix}

a rajta levő töltésre

\begin{matrix} Δ Q_{2} = η \cdot \frac{d^{2} Δ φ}{R}, \end{matrix}

az ebből származó elektromos térerősség nagyságára pedig

\begin{matrix} E_{1} = k \frac{Δ Q_{2}}{d^{2}} = k η \frac{Δ φ}{R} \end{matrix}

adódik.
Látható, hogy

E_{1} = E_{2}

, és mivel a két térerősségvektor iránya egymással ellentétes, az eredőjük nulla. Ugyanez igaz bármely más ‐ egymással szemben található ‐ töltéspárra is, így az egyenletesen feltöltött, ,,igen hosszú'' (végtelen hosszúnak tekinthető) pálca elektromos tere valóban eltűnik a félkör középpontjában.