Feladat: 4199. fizika feladat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Kószó Simon 
Füzet: 2010/március, 182 - 183. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Egyéb elektromos mező
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2009/november: 4199. fizika feladat

Hosszú, egyenletesen feltöltött szigetelő pálcát középen félkör alakban meghajlítunk. Mekkora az elektromos térerősség a félkör O középpontjában?
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Belátjuk, hogy az O pontban az eredő térerősség nulla.
Tekintsük a félkörnek egy olyan AB darabkáját, amely az O pontból nézve kicsiny Δφ szög alatt látszik (lásd az ábrát)! Ezen a körívdarabkán ΔQ1=ηRΔφ töltés található, ha R a félkör sugara, η pedig a pálca egységnyi hosszúságú darabjának töltése. Ha Δφ nagyon kicsi, akkor a kérdéses töltés pontszerűnek tekinthető, és így az O pontban a Coulomb-törvény szerint

E1=kΔQ1R2=kηΔφR
nagyságú elektromos térerősséget hoz létre.
 
 

Vizsgáljuk most a pálca egyenes részének azon CD darabkáját, amely az O pontból nézve éppen AB-vel ,,szemben'', attól d távolságra helyezkedik el. Ezen a (kicsiny) Δx hosszúságú szakaszon ΔQ2=ηΔx töltés található.
Az ábrán látható φ szög két derékszögű háromszögben is felfedezhető. Ha a dΔφ hosszú ívdarabkát egyenessel közelítjük, egyrészt fennáll, hogy
sinφ=dΔφΔx,másrésztsinφ=Rd.
A fenti két összefüggésből a CD szakasz hosszára
Δx=d2ΔφR,
a rajta levő töltésre
ΔQ2=ηd2ΔφR,
az ebből származó elektromos térerősség nagyságára pedig
E1=kΔQ2d2=kηΔφR
adódik.
Látható, hogy E1=E2, és mivel a két térerősségvektor iránya egymással ellentétes, az eredőjük nulla. Ugyanez igaz bármely más ‐ egymással szemben található ‐ töltéspárra is, így az egyenletesen feltöltött, ,,igen hosszú'' (végtelen hosszúnak tekinthető) pálca elektromos tere valóban eltűnik a félkör középpontjában.