Kezdőlap


Feladat:	4181. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Pázmán Koppány
Füzet:	2010/február, 118 - 119. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Mozgó elektromos töltésre ható erő (Lorentz-erő)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/szeptember: 4181. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. $a)$ A proton homogén mágneses mezőben a Lorentz-erő hatására körív mentén mozog. A pályasugár az 1. ábra geometriájából számítható:

\begin{matrix} r = \frac{ℓ}{sin φ} = \frac{0, 05 m}{sin 30^{\circ}} = 0, 1 m. \end{matrix}

1. ábra

Q

töltésű,

m

tömegű részecske mozgásegyenlete:

\begin{matrix} B Q v_{0} = m \frac{v_{0}^{2}}{r}, \end{matrix}

ahonnan (a megadott és táblázati adatok felhasználásával)

\begin{matrix} v_{0} = \frac{B Q r}{m} = \frac{0, 167 T \cdot 1, 6 \cdot 10^{- 19} C \cdot 0, 1 m}{1, 67 \cdot 10^{- 27} kg} = 1, 6 \cdot 10^{6} \frac{m}{s} . \end{matrix}

Mivel a proton a körpálya

\frac{1}{12}

részét futja be, az ehhez szükséges idő:

\begin{matrix} t = \frac{1}{12} \cdot \frac{2 r π}{v_{0}} = \frac{2 \cdot 0, 1 m \cdot 3, 14}{12 \cdot 1, 6 \cdot 10^{6} \frac{m}{s}} = 3, 3 \cdot 10^{- 8} s. \end{matrix}

b)

A mágneses mezőből a proton

v_{0}

sebességgel lép ki, így a mozgási energiája

\frac{1}{2} m v_{0}^{2}

. A munkatétel szerint

\begin{matrix} Q U = \frac{1}{2} m v_{0}^{2}, \end{matrix}

ahonnan a lefékezéshez szükséges ellenfeszültség

\begin{matrix} U = \frac{m v_{0}^{2}}{2 Q} = \frac{1, 67 \cdot 10^{- 27} kg \cdot {(1, 6 \cdot 10^{6} \frac{m}{s})}^{2}}{2 \cdot 1, 6 \cdot 10^{- 19} C} = 13, 3 kV. \end{matrix}

A fékezés során a proton egyenletesen lassul, átlagsebessége a kezdeti sebesség fele. A fékezés

t_{1}

ideje tehát az

\begin{matrix} s = \frac{v_{0}}{2} t_{1} \end{matrix}

képletből számítható:

\begin{matrix} t_{1} = \frac{2 s}{v_{0}} = \frac{2 \cdot 0, 1 m}{1, 6 \cdot 10^{6} \frac{m}{s}} = 1, 25 \cdot 10^{- 7} s. \end{matrix}

2. ábra

c)

A részecske akkor verődik vissza a ,,mágneses falon'', ha a körív alakú pályája nem éri el a mágneses mező jobb oldali szélét. Határesetben a pályagörbe érinti a mező jobb oldali határát (2. ábra). A pályasugár a

\begin{matrix} B Q v_{1} = m \frac{v_{1}^{2}}{R} \end{matrix}

mozgásegyenletből számolható:

\begin{matrix} R = \frac{m v_{1}}{B Q} = \frac{1, 67 \cdot 10^{- 27} \cdot 2 \cdot 10^{6}}{0, 167 \cdot 1, 6 \cdot 10^{- 19}} m = 0, 125 m, \end{matrix}

a határesetnek megfelelő belépési szög pedig a

\begin{matrix} sin α = \frac{R - ℓ}{R} = 0, 6 \end{matrix}

összefüggésből

α = 36, 9^{\circ}

-nak adódik. Ha a proton ennél nagyobb szögben éri el a mágneses mező bal oldali határát, akkor nem tud áthatolni a mágneses falon, visszaverődik arról.