Kezdőlap


Feladat:	4179. fizika feladat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Burján Bence
Füzet:	2010/február, 116 - 117. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyéb (gázok fajhőjével kapcsolatos)
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/szeptember: 4179. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Ha egy $m$ tömegű, $M$ moltömegű gáz molekulái $f$ szabadsági fokkal rendelkeznek, akkor állandó térfogaton

\begin{matrix} Q = \frac{f}{2} \cdot \frac{m}{M} \cdot R Δ T \end{matrix}

(1)

hő szükséges a gáz hőmérsékletének

Δ T

mértékű növeléséhez, vagyis a gáz állandó térfogaton vett fajhője

\begin{matrix} c_{V} = \frac{Q}{m Δ T} = \frac{f}{2} \cdot \frac{R}{M} . \end{matrix}

Ugyanezek a mennyiségek állandó nyomáson:

\begin{matrix} Q = \frac{f + 2}{2} \cdot \frac{m}{M} \cdot R Δ T, \end{matrix}

(2)

vagyis

\begin{matrix} c_{p} = \frac{f + 2}{2} \cdot \frac{R}{M} . \end{matrix}

Jelöljük a héliumra vonatkozó fizikai mennyiségeket 1-es indexszel, a hidrogén megfelelő adatait pedig 2-es indexszel! A keverék (melynek tömege

m_{1} + m_{2}

) úgy tekinthető, mint két ‐ egymással kölcsönhatásban nem álló ‐ gáz, melyek külön-külön kitöltik az edény teljes térfogatát, nyomásaik (az ún. parciális nyomások) összege pedig a keverék tényleges nyomásával egyenlő.
Ha a keveréket állandó térfogaton melegítjük, (1)-nek megfelelően összesen

\begin{matrix} Q_{1} + Q_{2} = \frac{f_{1}}{2} \frac{m_{1}}{M_{1}} R Δ T + \frac{f_{2}}{2} \frac{m_{2}}{M_{2}} R Δ T \end{matrix}

hőt kell közöljünk vele, állandó térfogaton vett fajhője tehát

\begin{matrix} c_{V} = \frac{Q_{1} + Q_{2}}{(m_{1} + m_{2}) Δ T} = \frac{\frac{f_{1}}{2} \frac{m_{1}}{M_{1}} + \frac{f_{2}}{2} \frac{m_{2}}{M_{2}}}{m_{1} + m_{2}} R . \end{matrix}

(3)

Hasonló módon kapjuk a keverék állandó nyomáson vett fajhőjét, ha a közölt hőt (2) alapján számítjuk:

\begin{matrix} Q_{1} + Q_{2} & = \frac{f_{1} + 2}{2} \cdot \frac{m_{1}}{M_{1}} R Δ T + \frac{f_{2} + 2}{2} \cdot \frac{m_{2}}{M_{2}} R Δ T, \\ c_{p} & = \frac{Q_{1} + Q_{2}}{(m_{1} + m_{2}) Δ T} = \frac{\frac{f_{1} + 2}{2} \frac{m_{1}}{M_{1}} + \frac{f_{2} + 2}{2} \frac{m_{2}}{M_{2}}}{m_{1} + m_{2}} R . & (4) \end{matrix}

A keverék fajhőhányadosa (4) és (3) szerint

\begin{matrix} \frac{c_{p}}{c_{V}} = \frac{(f_{1} + 2) \frac{m_{1}}{M_{1}} + (f_{2} + 2) \frac{m_{2}}{M_{2}}}{f_{1} \frac{m_{1}}{M_{1}} + f_{2} \frac{m_{2}}{M_{2}}} . \end{matrix}

Ez az arány

f_{1} = 3

és

f_{2} = 5

, valamint

\frac{m_{1}}{M_{1}} = \frac{20}{4} = 5

és

\frac{m_{2}}{M_{2}} = \frac{8}{2} = 4

felhasználásával

\begin{matrix} \frac{c_{p}}{c_{V}} = \frac{5 \cdot 5 + 7 \cdot 4}{3 \cdot 5 + 5 \cdot 4} = \frac{53}{35} \approx 1, 51. \end{matrix}

Megjegyzés. Ha ‐ naiv módon ‐ a keverék összetevőinek fajhőhányadosát az összetevők tömegével súlyozott középértékként számoljuk, akkor a hibás

\begin{matrix} \frac{c_{p}}{c_{V}} = \frac{20 \cdot \frac{5}{3} + 8 \cdot \frac{7}{5}}{20 + 8} = 1, 59 \end{matrix}

eredményt kapjuk. Ugyancsak hibás, ha a fajhőhányadosok mólszámmal súlyozott középértékét véljük a keverék fajhőhányadosának.