Kezdőlap


Feladat:	4123. fizika feladat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	2010/február, 109 - 110. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Egyéb optikai leképezés
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/december: 4123. fizika feladat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az 5 dioptriás gyüjtőlencse fókusztávolsága 20 cm, és ugyanekkora a 40 cm görbületi sugarú tükör fókusztávolsága is. A két optikai eszköz távolsága a fókusztávolság kétszerese, tehát a lencsének a tükör felé eső $F_{1}$ fókuszpontja éppen egybeesik a tükör $F_{2}$ fókuszpontjával.
Rajzoljuk le az elrendezést méretarányosan (a négyzethálós ábrán a kis négyzetek oldalhossza 10 cm-nek felel meg), és kövessünk végig 2 nevezetes sugármenetet!

A bogarat jelző nyíl

P

végpontjából az optikai tengellyel párhuzamosan induló fénysugár a lencsén áthaladva az

F_{1} = F_{2}

fókuszpontokon keresztül éri el a tükröt, arról visszaverődve az optikai tengellyel párhuzamosan halad, majd a gyűjtőlencsén keresztül a lencse másik,

F_{3}

fókuszpontja irányába térül el.
A

P

pontból a lencse

O

középpontja felé induló fénysugár irányváltoztatás nélkül halad tovább, és mivel

O

éppen a gömbtükör görbületi középpontja, a fénysugár a tükörről visszaverődve ugyanezen útvonalat követve jut vissza az

O

, majd a

P

pontba és még tovább is.
A két nevezetes sugár két helyen is metszi egymást. Először a

Q

pontban, itt a bogárral azonos méretű, de fordított állású, valódi kép jön létre; másodszor pedig a lencsétől 60 cm-re levő

R

pontban, ahol a bogár kétszeres nagyítású, egyenes állású, valódi képe keletkezik.

Megjegyzés. A két fénysugár még egy harmadik helyen, az

S

pontban is metszené egymást, ha a tükör nem volna ott a megadott helyen. Az

S

pontban tehát egy olyan virtuális kép jön létre, amelyet csak akkor láthatnánk, ha a szemünk a lencse és a tükör között lenne. De még ebben az esetben sem észlelhetnénk éles képet, hiszen a szemünk számára a ,,tárgy'' negatív tárgytávolságra helyezkedne el, tehát nem esne a tisztalátás tartományába.

A feladatot számolással, a lencsetörvény többszöri alkalmazásával is megoldhatjuk. Az

\begin{matrix} \frac{1}{t} + \frac{1}{k} = \frac{1}{f} és N = \frac{k}{t} \end{matrix}

összefüggésekből a képtávolság és a nagyítás kifejezhető:

\begin{matrix} k = \frac{t f}{t - f}, illetve N = \frac{f}{t - f} . \end{matrix}

(A továbbiakban a távolságokat cm-ben mérjük, és a részletszámításoknál a mértékegységet nem írjuk ki.)
Az

f = 20

fókusztávolságú lencse a

t = 30

távol levő bogárról (a

P

pontról)

\begin{matrix} k_{1} = \frac{30 \cdot 20}{30 - 20} = 60 cm \end{matrix}

távolságban

\begin{matrix} N_{1} = \frac{20}{30 - 20} = 2 \end{matrix}

nagyítású (az ábrán

S

-sel jelölt) képet hoz létre. Ez a kép a lencsétől 40 cm távol levő tükör számára egy

t = 40 - k_{1} = - 20

cm tárgytávolságú ,,virtuális tárgynak'' tekinthető, amelyről (a tükörtől mérve)

\begin{matrix} k_{2} = \frac{- 20 \cdot 20}{- 20 - 20} = \frac{- 400}{- 40} = + 10 cm \end{matrix}

távolságban

\begin{matrix} N_{2} = \frac{- 20}{- 20 - 20} = \frac{1}{2} \end{matrix}

nagyítású valódi kép keletkezik. Ennek (az ábrán

Q

-val jelölt) képnek a bogárhoz viszonyított mérete

N_{1} \cdot N_{2} = 1

. Végül a második, a lencsétől

t = 40 - k_{2} = 30

cm távol levő képről a lencse

\begin{matrix} k_{3} = \frac{30 \cdot 20}{30 - 20} = 60 cm \end{matrix}

távolságban

\begin{matrix} N_{3} = \frac{20}{30 - 20} = 2 \end{matrix}

nagyítású (az ábrán

R

jelű) valódi képet állít elő, melynek mérete a bogárhoz képest

N_{1} \cdot N_{2} \cdot N_{3} = 2

, tehát kétszer nagyobb.