Feladat: 4123. fizika feladat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 2010/február, 109 - 110. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Egyéb optikai leképezés
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/december: 4123. fizika feladat

Közös tengelyen, egymástól 40 cm-re van egy 5 dioptriás gyűjtőlencse és egy 40 cm görbületi sugarú homorú tükör, tükröző oldalával a lencse felé fordítva. A lencse tükörrel átellenes oldalán a lencsétől 30 cm-re van egy kis bogár.
Milyen képet ‐ esetleg képeket ‐ alkot az optikai rendszer a bogárról? Hányszoros a nagyítás?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az 5 dioptriás gyüjtőlencse fókusztávolsága 20 cm, és ugyanekkora a 40 cm görbületi sugarú tükör fókusztávolsága is. A két optikai eszköz távolsága a fókusztávolság kétszerese, tehát a lencsének a tükör felé eső F1 fókuszpontja éppen egybeesik a tükör F2 fókuszpontjával.
Rajzoljuk le az elrendezést méretarányosan (a négyzethálós ábrán a kis négyzetek oldalhossza 10 cm-nek felel meg), és kövessünk végig 2 nevezetes sugármenetet!

 
 

A bogarat jelző nyíl P végpontjából az optikai tengellyel párhuzamosan induló fénysugár a lencsén áthaladva az F1=F2 fókuszpontokon keresztül éri el a tükröt, arról visszaverődve az optikai tengellyel párhuzamosan halad, majd a gyűjtőlencsén keresztül a lencse másik, F3 fókuszpontja irányába térül el.
A P pontból a lencse O középpontja felé induló fénysugár irányváltoztatás nélkül halad tovább, és mivel O éppen a gömbtükör görbületi középpontja, a fénysugár a tükörről visszaverődve ugyanezen útvonalat követve jut vissza az O, majd a P pontba és még tovább is.
A két nevezetes sugár két helyen is metszi egymást. Először a Q pontban, itt a bogárral azonos méretű, de fordított állású, valódi kép jön létre; másodszor pedig a lencsétől 60 cm-re levő R pontban, ahol a bogár kétszeres nagyítású, egyenes állású, valódi képe keletkezik.
 
Megjegyzés. A két fénysugár még egy harmadik helyen, az S pontban is metszené egymást, ha a tükör nem volna ott a megadott helyen. Az S pontban tehát egy olyan virtuális kép jön létre, amelyet csak akkor láthatnánk, ha a szemünk a lencse és a tükör között lenne. De még ebben az esetben sem észlelhetnénk éles képet, hiszen a szemünk számára a ,,tárgy'' negatív tárgytávolságra helyezkedne el, tehát nem esne a tisztalátás tartományába.
 

A feladatot számolással, a lencsetörvény többszöri alkalmazásával is megoldhatjuk. Az
1t+1k=1fésN=kt
összefüggésekből a képtávolság és a nagyítás kifejezhető:
k=tft-f,illetveN=ft-f.
(A továbbiakban a távolságokat cm-ben mérjük, és a részletszámításoknál a mértékegységet nem írjuk ki.)
Az f=20 fókusztávolságú lencse a t=30 távol levő bogárról (a P pontról)
k1=302030-20=60cm
távolságban
N1=2030-20=2
nagyítású (az ábrán S-sel jelölt) képet hoz létre. Ez a kép a lencsétől 40 cm távol levő tükör számára egy t=40-k1=-20 cm tárgytávolságú ,,virtuális tárgynak'' tekinthető, amelyről (a tükörtől mérve)
k2=-2020-20-20=-400-40=+10cm
távolságban
N2=-20-20-20=12
nagyítású valódi kép keletkezik. Ennek (az ábrán Q-val jelölt) képnek a bogárhoz viszonyított mérete N1N2=1. Végül a második, a lencsétől t=40-k2=30 cm távol levő képről a lencse
k3=302030-20=60cm
távolságban
N3=2030-20=2
nagyítású (az ábrán R jelű) valódi képet állít elő, melynek mérete a bogárhoz képest N1N2N3=2, tehát kétszer nagyobb.