Feladat: B.4188 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Beke Lilla ,  Blázsik Zoltán ,  Bodor Bertalan ,  Dinh Hoangthanh Attila ,  Dudás Zsolt ,  Éles András ,  Énekes Péter ,  Frankl Nóra ,  Gyarmati Máté ,  Huszár Kristóf ,  Kiss Melinda Flóra ,  Kovács Adrienn ,  Kovács Noémi ,  Lenger Dániel ,  Lovas Lia Izabella ,  Mailach Petra ,  Márkus Bence ,  Mezei Márk ,  Nagy Donát ,  Neukirchner Elisabeth ,  Perjési Gábor ,  Somogyi Ákos ,  Tuan Nhat Le ,  Varga László ,  Varju Tamás 
Füzet: 2010/február, 87 - 88. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Síkgeometriai bizonyítások, Középvonal, Terület, felszín, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2009/május: B.4188

Az ABCD négyszög AB és CD oldala nem párhuzamos. Legyen ezen oldalak egy-egy belső pontja E, illetve F. Bizonyítsuk be, hogy az AF, CE, BF és DE szakaszok felezőpontjai egy olyan konvex négyszöget határoznak meg, amelynek területe nem függ az E és F pontok helyzetétől.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen az AF felezőpontja X1, a BF felezőpontja X2, a DE felezőpontja Y1, a CE felezőpontja pedig Y2. Legyen továbbá P az EF szakasz felezőpontja.
Az X1X2 szakasz az ABF középvonala, így ABX1X2 és X1X2=AB2, továbbá P az X1X2 szakasz egy belső pontja, hiszen E az AB szakasz belső pontja.

 
 

Hasonlóan az Y1Y2 szakasz a CDE középvonala, CDY1Y2, Y1Y2=CD2, továbbá P az Y1Y2 szakasz belső pontja.
Tehát P az X1X2 és Y1Y2 szakaszoknak is belső pontja, így a felezőpontok által meghatározott konvex négyszög csúcsai rendre az X1, Y1, X2, Y2 pontok, X1X2 és Y1Y2 a négyszög két átlója, P pedig az átlók metszéspontja.
Mivel ABX1X2 és CDY1Y2, az X1X2 és Y1Y2 szakaszok által közrezárt szög megegyezik az AB és CD egyenesek hajlásszögével, φ-vel (φ0, hiszen AB és CD nem párhuzamosak).
Az ismert területképlet alapján a négyszög területe:
TX1Y1X2Y2=X1X2Y1Y2sinφ2=18ABCDsinφ.
Ez pedig nyilvánvalóan független az E és F pontok helyzetétől.