Kezdőlap


Feladat:	B.4181	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Blázsik Zoltán , Bodor Bertalan , Csizmadia Luca , Dunay Luca , Frankl Nóra , Győrfi Mónika , Janosov Milán , Jernei Tamás , Kovács Gábor , Márkus Bence , Mészáros András , Milánkovich Dorottya , Németh Bence , Perjési Gábor , Tóth Barnabás , Varga László , Vuchetich Bálint
Füzet:	2010/február, 86 - 87. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Térgeometriai bizonyítások, Tetraéderek, Négyszögek geometriája
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/április: B.4181

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a tetraéder egyik csúcsa $O$ , a másik három pedig $A$ , $B$ , $C$ . Tekintsük a térben azokat az $X$ , $Y$ , $Z$ pontokat, amelyekre

\begin{matrix} \vec{O X} = \frac{\vec{O B} + \vec{O C} - \vec{O A}}{2}, \vec{O Y} = \frac{\vec{O C} + \vec{O A} - \vec{O B}}{2}, \vec{O Z} = \frac{\vec{O A} + \vec{O B} - \vec{O C}}{2}, \end{matrix}

ekkor

\begin{matrix} \vec{O A} = \vec{O Y} + \vec{O Z}, \vec{O B} = \vec{O Z} + \vec{O X} és \vec{O C} = \vec{O X} + \vec{O Y} . \end{matrix}

Tehát az

A

B

C

pontok

O

-val másodszomszédos csúcsai annak a parallelepipedonnak, amelynek egyik csúcsa

O

, annak szomszédai pedig

X

Y

és

Z

. A tetraéder élei ennek a parallelepipedonnak a lapátlói. A szemközti élek egyenlősége azt jelenti, hogy a parallelepipedon lapjai olyan parallelogrammák, amelyek mindegyikében a két átló egyenlő hosszú. Így a parallelepipedon lapjai téglalapok, vagyis a parallelepipedon téglatest. A lapátlók által bezárt szögek egyenlőségéből arra következtethetünk, hogy a téglatest lapjai hasonlók egymáshoz. Legyen a téglatest egy csúcsból kiinduló éleinek hossza

a \leq b \leq c

. A lapok hasonlósága szerint

\begin{matrix} \frac{a}{b} = \frac{a}{c} = \frac{b}{c} . \end{matrix}

Ebből következik, hogy

b = c = a

, azaz a téglatest kocka, a tetraéder tehát valóban szabályos.