|
Feladat: |
B.4181 |
Korcsoport: 18- |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Blázsik Zoltán , Bodor Bertalan , Csizmadia Luca , Dunay Luca , Frankl Nóra , Győrfi Mónika , Janosov Milán , Jernei Tamás , Kovács Gábor , Márkus Bence , Mészáros András , Milánkovich Dorottya , Németh Bence , Perjési Gábor , Tóth Barnabás , Varga László , Vuchetich Bálint |
Füzet: |
2010/február,
86 - 87. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Feladat, Térgeometriai bizonyítások, Tetraéderek, Négyszögek geometriája |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2009/április: B.4181 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. Legyen a tetraéder egyik csúcsa , a másik három pedig , , . Tekintsük a térben azokat az , , pontokat, amelyekre | | ekkor | | Tehát az , , pontok -val másodszomszédos csúcsai annak a parallelepipedonnak, amelynek egyik csúcsa , annak szomszédai pedig , és . A tetraéder élei ennek a parallelepipedonnak a lapátlói. A szemközti élek egyenlősége azt jelenti, hogy a parallelepipedon lapjai olyan parallelogrammák, amelyek mindegyikében a két átló egyenlő hosszú. Így a parallelepipedon lapjai téglalapok, vagyis a parallelepipedon téglatest. A lapátlók által bezárt szögek egyenlőségéből arra következtethetünk, hogy a téglatest lapjai hasonlók egymáshoz. Legyen a téglatest egy csúcsból kiinduló éleinek hossza . A lapok hasonlósága szerint Ebből következik, hogy , azaz a téglatest kocka, a tetraéder tehát valóban szabályos. |
|