Feladat: B.4181 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Blázsik Zoltán ,  Bodor Bertalan ,  Csizmadia Luca ,  Dunay Luca ,  Frankl Nóra ,  Győrfi Mónika ,  Janosov Milán ,  Jernei Tamás ,  Kovács Gábor ,  Márkus Bence ,  Mészáros András ,  Milánkovich Dorottya ,  Németh Bence ,  Perjési Gábor ,  Tóth Barnabás ,  Varga László ,  Vuchetich Bálint 
Füzet: 2010/február, 86 - 87. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Térgeometriai bizonyítások, Tetraéderek, Négyszögek geometriája
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2009/április: B.4181

Egy tetraéder szemköztes élei egyenlő hosszúak és páronként ugyanakkora szöget zárnak be. Igazoljuk, hogy a tetraéder szabályos.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen a tetraéder egyik csúcsa O, a másik három pedig A, BC. Tekintsük a térben azokat az X, Y, Z pontokat, amelyekre

OX=OB+OC-OA2,OY=OC+OA-OB2,OZ=OA+OB-OC2,
ekkor
OA=OY+OZ,OB=OZ+OXésOC=OX+OY.
Tehát az A, B, C pontok O-val másodszomszédos csúcsai annak a parallelepipedonnak, amelynek egyik csúcsa O, annak szomszédai pedig X, Y és Z. A tetraéder élei ennek a parallelepipedonnak a lapátlói. A szemközti élek egyenlősége azt jelenti, hogy a parallelepipedon lapjai olyan parallelogrammák, amelyek mindegyikében a két átló egyenlő hosszú. Így a parallelepipedon lapjai téglalapok, vagyis a parallelepipedon téglatest. A lapátlók által bezárt szögek egyenlőségéből arra következtethetünk, hogy a téglatest lapjai hasonlók egymáshoz. Legyen a téglatest egy csúcsból kiinduló éleinek hossza abc. A lapok hasonlósága szerint
ab=ac=bc.
Ebből következik, hogy b=c=a, azaz a téglatest kocka, a tetraéder tehát valóban szabályos.