Kezdőlap


Feladat:	B.4138	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	2010/február, 85. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Trigonometriai azonosságok, Trigonometrikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2008/december: B.4138

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az egyenlet bal oldalának fele a koszinusz függvény összegzési képlete szerint

\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt[]{2}} sin x + \frac{1}{\sqrt[]{2}} cos x = sin \frac{π}{4} sin x + cos \frac{π}{4} cos x = cos (\frac{π}{4} - x), \end{matrix}

ezért az egyenlet bal oldalának abszolút értéke legfeljebb 2. Ha a jobb oldal értelmes, akkor

ctg x = 1 / tg x

miatt egy valós szám és a reciprokának összegeként az abszolút értéke legalább 2. Így az egyenlet minden

x

megoldására

| cos (\frac{π}{4} - x) | = 1

, vagyis

x = \frac{π}{4} + k π

teljesül alkalmas

k

egész számmal. A jobb oldalt azonosan átalakítva:

\begin{matrix} tg x + ctg x = \frac{sin x}{cos x} + \frac{cos x}{sin x} = \frac{sin^{2} x + cos^{2} x}{sin x cos x} = \frac{2}{sin 2 x}, \end{matrix}

ami

x = \frac{π}{4} + l π

(ahol

l \in Z

) esetén 2. Tehát

cos (\frac{π}{4} - x) = 1

, azaz csak az

\begin{matrix} x = \frac{π}{4} + 2 l π \end{matrix}

alakú szögek megoldásai az egyenletnek.