Feladat: B.4138 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 2010/február, 85. oldal  PDF file
Témakör(ök): Trigonometriai azonosságok, Trigonometrikus egyenletek, Feladat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2008/december: B.4138

Oldjuk meg a következő egyenletet:
2(sinx+cosx)=tgx+ctgx.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Az egyenlet bal oldalának fele a koszinusz függvény összegzési képlete szerint

12sinx+12cosx=sinπ4sinx+cosπ4cosx=cos(π4-x),
ezért az egyenlet bal oldalának abszolút értéke legfeljebb 2. Ha a jobb oldal értelmes, akkor ctgx=1/tgx miatt egy valós szám és a reciprokának összegeként az abszolút értéke legalább 2. Így az egyenlet minden x megoldására |cos(π4-x)|=1, vagyis x=π4+kπ teljesül alkalmas k egész számmal. A jobb oldalt azonosan átalakítva:
tgx+ctgx=sinxcosx+cosxsinx=sin2x+cos2xsinxcosx=2sin2x,
ami x=π4+lπ (ahol lZ) esetén 2. Tehát cos(π4-x)=1, azaz csak az
x=π4+2lπ
alakú szögek megoldásai az egyenletnek.