Kezdőlap


Feladat:	C.994	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Buza Dániel István , Najbauer Eszter
Füzet:	2010/február, 84 - 85. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Exponenciális egyenletek, Oszthatóság
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/május: C.994

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A 179 415 prímtényezős felbontása: $3^{4} \cdot 5 \cdot 443$ .
A prímtényezős felbontásban a hármas szám a negyedik hatványon szerepel. Az egyenlet bal oldalából emeljük ki a $3^{x}$ -t ( $x < y < z$ ):

\begin{matrix} 3^{x} (1 + 3^{y - x} + 3^{z - x}) = 179 415. \end{matrix}

Mivel a zárójeles tényező nem osztható 3-mal,

x = 4

. Vagyis:

\begin{matrix} 3^{4} (1 + 3^{y - 4} + 3^{z - 4}) & = 179 415, \\ 1 + 3^{y - 4} + 3^{z - 4} & = 2215, \\ 3^{y - 4} + 3^{z - 4} & = 2214. \end{matrix}

A 2214 prímtényezős felbontása:

2 \cdot 3^{3} \cdot 41

.
Ebben a prímtényezős felbontásban a hármas szám a harmadik hatványon szerepel. Mivel az egyenlet bal oldalának mindkét tagjából kiemelhető

3^{y - 4}

, így biztos, hogy

y - 4 = 3

, azaz

y = 7

. Vagyis:

\begin{matrix} 3^{7 - 4} (1 + 3^{z - 4 - 7 + 4}) & = 2214, \\ 3^{3} (1 + 3^{z - 7}) & = 2214, \\ 3^{z - 7} & = 81. \end{matrix}

Vagyis

z - 7 = 4

, amiből

z = 11

.
Így az egyenlet megoldása:

x = 4

y = 7

z = 11

II. megoldás. Az egyenlet jobb oldalán szereplő számot írjuk át hármas számrendszerbe: 100010010000.
A hármas számrendszer helyi értékeit figyelembe véve:

3^{4} + 3^{7} + 3^{11} = 179 415

. Mivel

x < y < z

, azért

x = 4

y = 7

z = 11

. Ez az egyenlet egyetlen megoldása, mivel bármely számrendszerben egy számot egyértelműen állíthatunk elő.