Feladat: C.994 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Buza Dániel István ,  Najbauer Eszter 
Füzet: 2010/február, 84 - 85. oldal  PDF file
Témakör(ök): C gyakorlat, Exponenciális egyenletek, Oszthatóság
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2009/május: C.994

Legyen x<y<z. Oldjuk meg a természetes számok halmazán a következő egyenletet:
3x+3y+3z=179415.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. A 179 415 prímtényezős felbontása: 345443.
A prímtényezős felbontásban a hármas szám a negyedik hatványon szerepel. Az egyenlet bal oldalából emeljük ki a 3x-t (x<y<z):

3x(1+3y-x+3z-x)=179415.
Mivel a zárójeles tényező nem osztható 3-mal, x=4. Vagyis:
34(1+3y-4+3z-4)=179415,1+3y-4+3z-4=2215,3y-4+3z-4=2214.
A 2214 prímtényezős felbontása: 23341.
Ebben a prímtényezős felbontásban a hármas szám a harmadik hatványon szerepel. Mivel az egyenlet bal oldalának mindkét tagjából kiemelhető 3y-4, így biztos, hogy y-4=3, azaz y=7. Vagyis:
37-4(1+3z-4-7+4)=2214,33(1+3z-7)=2214,3z-7=81.
Vagyis z-7=4, amiből z=11.
Így az egyenlet megoldása: x=4, y=7, z=11.
 
II. megoldás. Az egyenlet jobb oldalán szereplő számot írjuk át hármas számrendszerbe: 100010010000.
A hármas számrendszer helyi értékeit figyelembe véve: 34+37+311=179415. Mivel x<y<z, azért x=4, y=7, z=11. Ez az egyenlet egyetlen megoldása, mivel bármely számrendszerben egy számot egyértelműen állíthatunk elő.