Kezdőlap


Feladat:	C.986	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	2010/február, 83 - 84. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	C gyakorlat, Osztók száma, Szabályos sokszögek geometriája
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/április: C.986

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Tudjuk, hogy az $n$ oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege: $(n - 2) \cdot 180^{\circ}$ . Ha egy szabályos sokszög minden belső szöge egyenlő, akkor minden csúcsnál a belső szög nagysága:

\begin{matrix} \frac{(n - 2) \cdot 180^{\circ}}{n} = \frac{n \cdot 180^{\circ} - 360^{\circ}}{n} = 180^{\circ} - \frac{360^{\circ}}{n} . \end{matrix}

Azt kell megvizsgálnunk, hogy milyen

n \geq 3

egész szám esetén lesz a

180^{\circ} - \frac{360^{\circ}}{n}

is egész. Ehhez a

360 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5

osztóit kell meghatároznunk, de kihagyjuk az 1 és a 2 értékeket (ilyen oldalszámmal nem létezik sokszög).

Az ábrán a nyilak mentén haladva összeszorozzuk a prímhatványokat. Ekkor a 360 egy-egy osztóját kapjuk. Az osztók száma 24, a két tiltott szám (az 1 és a 2) elhagyásával kapjuk a lehetséges

n

értékeket. A 22-féle lehetőséghez kiszámoljuk a megfelelő szögeket, amelyek fokban és növekedő sorrendben a következők lesznek: 60, 90, 108, 120, 135, 140, 144, 150, 156, 160, 162, 165, 168, 170, 171, 172, 174, 175, 176, 177, 178, 179.