Feladat: C.986 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 2010/február, 83 - 84. oldal  PDF file
Témakör(ök): C gyakorlat, Osztók száma, Szabályos sokszögek geometriája
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2009/április: C.986

Adjuk meg az összes olyan egész számot, amely lehet egy szabályos sokszög belső szögének fokban kifejezett mérőszáma.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Tudjuk, hogy az n oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege: (n-2)180. Ha egy szabályos sokszög minden belső szöge egyenlő, akkor minden csúcsnál a belső szög nagysága:

(n-2)180n=n180-360n=180-360n.
Azt kell megvizsgálnunk, hogy milyen n3 egész szám esetén lesz a 180-360n is egész. Ehhez a 360=23325 osztóit kell meghatároznunk, de kihagyjuk az 1 és a 2 értékeket (ilyen oldalszámmal nem létezik sokszög).
 
 

Az ábrán a nyilak mentén haladva összeszorozzuk a prímhatványokat. Ekkor a 360 egy-egy osztóját kapjuk. Az osztók száma 24, a két tiltott szám (az 1 és a 2) elhagyásával kapjuk a lehetséges n értékeket. A 22-féle lehetőséghez kiszámoljuk a megfelelő szögeket, amelyek fokban és növekedő sorrendben a következők lesznek: 60, 90, 108, 120, 135, 140, 144, 150, 156, 160, 162, 165, 168, 170, 171, 172, 174, 175, 176, 177, 178, 179.