Kezdőlap


Feladat:	B.4174	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Dorkó Barbara , Rumpl Balázs
Füzet:	2010/január, 28 - 29. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Feladat, Paraméteres egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 2009/április: B.4174

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Feltehetjük, hogy $b \neq 0$ , mert behelyettesítve az összes egyenletbe ellentmondásra jutunk. Így az első egyenletet $b$ -vel osztva:

\begin{matrix} 4 a + b c = 32 \Rightarrow \frac{32 - 4 a}{b} = c . \end{matrix}

A második egyenletből

c

-t kifejezve és a bal oldalakat egyenlővé téve:

\begin{matrix} 2 a - 2 c - b^{2} = 0 & \Rightarrow \frac{2 a - b^{2}}{2} = c, \\ \frac{32 - 4 a}{b} = \frac{2 a - b^{2}}{2} & \Rightarrow 64 - 8 a = 2 a b - b^{3} \Rightarrow b^{3} + 4^{3} = 2 a (b + 4) \Rightarrow \\ \Rightarrow (b + 4) (b^{2} - 4 b + 16) = 2 a (b + 4) . \end{matrix}

1) Ha

b + 4 = 0 \Rightarrow b_{1} = - 4

, a (3) egyenlet kétszereséből kivonva a (2) egyenletet:

\begin{matrix} 2 a + 24 b - 2 c - 2 a b & = 12, \\ 2 a - 2 c - b^{2} & = 0 \\ \begin{matrix}  \end{matrix} \\ b^{2} + 24 b - 2 a b & = 12. & (4) \end{matrix}

b = - 4

-et behelyettesítve:

8 a = 92 \Rightarrow a_{1} = 11, 5

adódik. Az (1) egyenletből

c

-t kifejezve és a fenti értékeket beírva:

\begin{matrix} c_{1} = \frac{32 - 4 a}{b} = \frac{32 - 4 \cdot 11, 5}{- 4} = 3, 5. \end{matrix}

Tehát

\begin{matrix} a_{1} = 11, 5, b_{1} = - 4 és c_{1} = 3, 5 \end{matrix}

a megoldások ebben az esetben.
2) Ha

b + 4 \neq 0 \Rightarrow b \neq - 4

b^{2} - 4 b + 16 = 2 a

. Ekkor a (4) egyenletből:

\begin{matrix} b^{2} + 24 b - 12 = 2 a b \Rightarrow \frac{b^{2} + 24 b - 12}{b} = 2 a = b^{2} - 4 b + 16, \\ b^{2} + 24 b - 12 = b^{3} - 4 b^{2} + 16 b \Rightarrow 0 = b^{3} - 5 b^{2} - 8 b + 12 = \\ = b^{3} - b^{2} - 4 b^{2} + 4 b - 12 b + 12 = b^{2} (b - 1) - 4 b (b - 1) - 12 (b - 1) = \\ = (b - 1) (b^{2} - 4 b - 12) = (b - 1) (b - 6) (b + 2) . \end{matrix}

Ebből a következő megoldások adódnak:

\begin{matrix} \begin{matrix} a_{2} & = 6, 5, & b_{2} & = 1, & c_{2} & = 6, \\ a_{3} & = 14, & b_{3} & = 6, & c_{1} & = - 4, \\ a_{4} & = 14, & b_{4} & = - 2, & c_{4} & = 12. \end{matrix} \end{matrix}

A kapott számhármasok kielégítik az egyenletrendszert.