Feladat: B.4174 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Dorkó Barbara ,  Rumpl Balázs 
Füzet: 2010/január, 28 - 29. oldal  PDF file
Témakör(ök): Feladat, Paraméteres egyenletrendszerek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek
Hivatkozás(ok):Feladatok: 2009/április: B.4174

Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletrendszert:
4a+bc=32,(1)2a-2c-b2=0,(2)a+12b-c-ab=6.(3)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Feltehetjük, hogy b0, mert behelyettesítve az összes egyenletbe ellentmondásra jutunk. Így az első egyenletet b-vel osztva:

4a+bc=3232-4ab=c.
A második egyenletből c-t kifejezve és a bal oldalakat egyenlővé téve:
2a-2c-b2=02a-b22=c,32-4ab=2a-b2264-8a=2ab-b3b3+43=2a(b+4)(b+4)(b2-4b+16)=2a(b+4).

1) Ha b+4=0b1=-4, a (3) egyenlet kétszereséből kivonva a (2) egyenletet:
2a+24b-2c-2ab=12,2a-2c-b2=0
 
b2+24b-2ab=12.(4)

b=-4-et behelyettesítve: 8a=92a1=11,5 adódik. Az (1) egyenletből c-t kifejezve és a fenti értékeket beírva:
c1=32-4ab=32-411,5-4=3,5.
Tehát
a1=11,5,b1=-4  és  c1=3,5
a megoldások ebben az esetben.
2) Ha b+40b-4, b2-4b+16=2a. Ekkor a (4) egyenletből:
b2+24b-12=2abb2+24b-12b=2a=b2-4b+16,b2+24b-12=b3-4b2+16b0=b3-5b2-8b+12==b3-b2-4b2+4b-12b+12=b2(b-1)-4b(b-1)-12(b-1)==(b-1)(b2-4b-12)=(b-1)(b-6)(b+2).
Ebből a következő megoldások adódnak:
a2=6,5,b2=1,c2=6,a3=14,b3=6,c1=-4,a4=14,b4=-2,c4=12.
A kapott számhármasok kielégítik az egyenletrendszert.