|
Feladat: |
B.4167 |
Korcsoport: 14-15 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Blázsik Zoltán , Bodor Bertalan , Dudás Zsolt , Éles András , Huszár Kristóf , Mester Márton , Nagy Donát , Tuan Nhat Le , Varga László |
Füzet: |
2010/január,
26 - 27. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Feladat, Oszthatóság, Szorzat, hatvány számjegyei |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 2009/március: B.4167 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megoldás. A keresett számokat nevezzük röviden jónak. Tegyük fel, hogy jó. Ekkor teljesül alkalmas pozitív egész számmal, ezért -nak van olyan többszöröse, amelyre . Erre az számra utolsó jegye 1-es, vagyis nem osztható sem 2-vel, sem 5-tel. Ezért a szám relatív prím a 10-hez. Az Euler‐Fermat-tétel szerint így osztója -nek, ahol . Ezért osztója a -jegyű, csupa 1-esből álló számnak is. Tehát | | ahonnan adódik. Innen | | majd | | következik. Mindent összevetve kapjuk, hogy | | vagyis lehetséges értékei 1, 3, 9, 11, 33 és 99. A 3-as, 9-es és 11-es oszthatósági szabályok ismeretében könnyen meggyőződhetünk arról, hogy ezen hat szám mindegyike valóban jó.
Megjegyzés. A megoldásban az Euler‐Fermat-tételre csak annyiban volt szükség, hogy belássuk, a -nak létezik csupa 1-es számjegyből álló többszöröse. Ezt viszont már a skatulya-elv alkalmazásával is megkaphatjuk. Tekintsük ehhez az számokat. Ha a sorozatot elég hosszan folytatjuk, biztosan lesz két olyan szám, amely ugyanazt a maradékot adja -val osztva; ha ez az és a darab 1-esből álló szám, (ahol ) akkor különbségük | | osztható -val. Mivel relatív prím a 10-hez, azért is osztható -val.
|
|